Définition d'une primitive et lecture du tableau des primitives

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• F est une primitive de f sur I si et seulement si F'(x) = f(x) sur tout I. • Toutes les primitives de f sur I s'obtiennent en ajoutant une constante à l'une d'elles. • Le tableau se vérifie en dérivant la colonne de droite : on doit retomber sur la colonne de gauche. • Une primitive se cherche sur un intervalle, pas sur toute la droite.

Le cours

1. La définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie sur I dont la dérivée vaut f en tout point de I. F est une primitive de f sur I F'(x) = f(x) pour tout x I • L'intervalle compte : une primitive se cherche sur un intervalle où la fonction de départ est définie. • Toutes les primitives de f sur I ont exactement la même dérivée : elles se déduisent les unes des autres en ajoutant une constante. • Un signal technique u(t) dont on connaît la vitesse u'(t) admet une infinité de versions, toutes décalées verticalement : c'est la mesure à un instant qui choisit la bonne. • Une primitive n'est pas « l'intégrale » : on ne calcule pas d'aire ici, on reconstruit une fonction. • En pratique, on cherche presque toujours la primitive d'un signal dont la vitesse est connue : la mesure initiale se lit alors sur l'afficheur au moment de la mise sous tension. • Sur un intervalle de temps comme [0\ ;\ +[, la fonction de départ reste définie partout, ce qui laisse le choix de l'instant de la mesure initiale. • Primitiver change l'unité : une primitive d'une vitesse de variation en volts par seconde s'exprime en volts, une primitive d'un courant en ampères s'exprime en ampères-secondes (coulombs). 2. Le tableau des primitives, et comment le lire Le tableau se lit dans les deux sens : la colonne de gauche donne une fonction, celle de droite donne une de ses primitives. Pour vérifier une ligne, on dérive la cellule de droite et on doit retrouver la cellule de gauche. Fonction f(x) Une primitive F(x) Contrôle : dériver F k constante k\,x k x x^22 x x^2 x^33 x^2 x^3 x^44 x^3 1x^2 -1/x 1x^2 (x) -(x) (x) (x) (x) (x) • Lu de droite à gauche, le tableau devient un tableau de dérivées : la dérivée de x^33 est x^2, celle de -(x) est (x). • Trois lignes servent presque tous les jours en technique : la constante, la puissance et le cosinus. • L'erreur de signe la plus fréquente touche la ligne du sinus : une primitive de (x) est -(x), car la dérivée de (x) est -(x). Toutes les primitives de f s'écrivent donc F(x) + C avec C une constante réelle : la primitive n'est jamais unique tant qu'une mesure manque. 3. Deux primitives du même signal Le signal d'un capteur de pression vérifie u'(t) = 2\,t + 5, en volts par seconde. Toutes les fonctions u(t) = t^2 + 5\,t + C ont cette dérivée : pour C = 0 et pour C = -3\ V, les deux courbes ont exactement la même pente en chaque point et ne sont décalées que verticalement de 3\ V. 0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 50 3 V C = 0 C = -3 V temps t en secondes u en volts Le tableau donne la forme de la fonction ; la mesure u(2) = 11\ V par exemple donne C, puisque u(2) = 4 + 10 + C. • Le décalage vertical entre deux primitives est le même en tout point : c'est la seule différence entre les deux courbes, et elle se mesure sans calcul. • Une mesure initiale donnée en t = 0 conduit directement à C = u(0) ; une mesure donnée en t_0 impose d'évaluer u(t_0) avant de résoudre. 4. Pièges • Oublier la constante et écrire une primitive au lieu de toutes les primitives. • Chercher la primitive de 1/x avec la règle des puissances : l'exposant deviendrait 0 et le dénominateur serait nul. Cette fonction n'est pas au programme de 1ère : on laisse volontairement cette ligne de côté. • Écrire la primitive d'une vitesse en oubliant d'y ajouter la position initiale : une primitive sans constante décrit un mouvement qui commence à l'origine. • Oublier l'intervalle : 1x^2 et sa primitive -1/x ne sont pas définies en 0 ; on travaille sur ]0\ ;\ +[ ou sur ]-\ ;\ 0[, jamais sur R tout entier.

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