Méthode d'Euler pour approcher la solution d'une équation différentielle

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• La méthode d'Euler remplace la courbe par des segments joignant les points successifs du signal. • À chaque pas, on calcule la pente au point courant, puis on ajoute à la valeur du signal le produit pente × pas de temps. • La pente se calcule à partir de l'équation différentielle du système, pas d'un tableau de valeurs. • Le nombre de points est fixé par le pas de temps : h petit, points nombreux et résultat précis.

Le cours

1. Le problème que l'on veut résoudre Un système technique est souvent décrit par une équation différentielle : à chaque instant, la vitesse d'évolution du signal dépend de sa valeur actuelle. Exemple, la tension aux bornes d'un condensateur en charge obéit à du/dt = 4 - u/3, avec u(0) = 0. Chercher u(t) exactement n'est pas possible au programme de 1ère. On va donc construire une suite de valeurs approchées, une par pas de temps : c'est la méthode d'Euler. • L'idée est géométrique : pendant un petit intervalle de temps, le signal varie à peu près comme sa tangente, donc comme un segment. • On part du point initial (t_0, y_0) donné par une mesure, puis on rejoint le point suivant par un segment de pente locale. • Le résultat est une liste de points (t, y), pas une fonction : on obtient une courbe point par point, comme un enregistrement d'oscilloscope. • Plus le pas de temps est petit, plus les segments ressemblent à la courbe réelle. • L'algorithme a besoin d'une mesure initiale : sans la valeur du signal à l'instant de départ, la suite de points n'est pas déterminée. • Chaque point calculé sert de départ au suivant : le calcul se fait dans l'ordre, jamais deux pas en parallèle. • Avant de commencer, on compte les pas nécessaires : l'instant final et le pas de temps donnent le nombre de points par une simple division. 2. L'algorithme, écrit pas à pas Entrées du programme t = 0 s, u = 0 V, pas h = 1 s 1. Pente au point courant p = 4 - u/3 2. Avancer d'un pas u devient u + h × p 3. Tracer et recommencer t devient t + h tant que t_final = 4 s Concrètement, pour chaque pas : on calcule la pente au point courant, on l'ajoute à la valeur du signal pendant une durée h, puis on recommence au point obtenu. Rien d'autre : ni dérivée compliquée, ni primitive à calculer. • À partir de u = 0 en t = 0 avec h = 1\ s : la pente vaut 4, donc u(1) = 4. Puis la pente vaut 4 - 4/3, donc u(2) = 6,67. Puis u(3) = 8,44, puis u(4) = 9,63\ V. • La pente est toujours évaluée au début du pas, avec la valeur qui vient d'être calculée : la valeur de fin de pas n'est pas encore connue. • Le calcul se refait à chaque pas avec la nouvelle valeur : le tableau se remplit ligne par ligne. • Une seule formule suffit dans un tableur : une colonne pour le temps, une pour le signal, une pour la pente, une quatrième pour le signal au pas suivant. • Le même algorithme sert pour un autre système : il suffit de remplacer l'expression de la pente, les trois autres étapes restent identiques. • Les points obtenus alimentent ensuite les calculs d'aire approchée et de valeur moyenne, comme on le verra dans la suite du chapitre. 3. Le résultat sur un graphique 0 1 2 3 4 0 4 8 12 pas de 1 s Euler : 9,63 V mesure temps t en secondes tension u en volts La courbe en pointillés est le signal réellement mesuré, la ligne verte est l'approximation d'Euler obtenue avec un pas de 1\ s. Les points verts sont les valeurs calculées, reliées par des segments : c'est exactement ce que produit un tableur. • L'approximation surestime légèrement la tension, car les tangentes sont prises au début de chaque intervalle, là où la pente est la plus forte. • En t = 4\ s, la méthode donne 9,63\ V pour une mesure de 8,84\ V : l'écart reste inférieur au volt, ce qui est souvent acceptable pour un réglage. • Le nombre de points obtenus est déterminé par le pas : 4\ s avec h = 1\ s donnent cinq valeurs, pas une formule. 4. Pièges • Recopier la pente du pas précédent au lieu de la recalculer : c'est l'erreur la plus fréquente et la plus difficile à repérer, car la suite reste croissante. • Oublier d'avancer le temps : si l'on réapplique le même pas sans modifier t, on obtient une suite qui ne correspond à aucun temps. • Calculer toutes les pentes avec la valeur initiale u = 0 au lieu de la valeur courante : on obtiendrait 4, 8, 12 puis 16\ V, une droite qui dépasse la tension d'alimentation de 12\ V. • Présenter la valeur calculée comme une mesure : c'est une approximation, à comparer au relevé réel. •…

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