Aire sous une courbe par comptage de carreaux de classe de 5e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• L'aire sous un signal tension-temps s'exprime en V·s, produit de la maille horizontale par la maille verticale. • Un carré de la grille est plein ou coupé : dans le second cas, il ne compte que partiellement. • Affiner la maille augmente le nombre de carrés à compter et diminue l'erreur. • Le comptage de carrés et la somme de rectangles sont deux façons de dire la même chose.

Le cours

1. Compter des carrés sous une courbe Dès la classe de 5e, vous savez estimer l'aire d'une figure en comptant les carrés d'une grille. Appliqué à un signal, le même geste donne une idée de l'aire située entre la courbe et l'axe des temps. • Un carré de la grille a une surface : ici 0,5\ s 2\ V = 1\ V·s, ce qui est l'unité d'aire pour un signal tension-temps. • Un carré entièrement sous la courbe compte pour 1\ V·s ; un carré coupé par la courbe ne compte que pour la partie réellement occupée. • La maille est un curseur : plus elle est petite, plus le comptage est juste, mais plus il y a de carrés à compter. 0 1 2 3 4 0 4 8 12 24 mailles pleines soit 24 V·s mailles coupées par le signal temps t en secondes u en volts Sur cette grille (maille de 0,5\ s 2\ V), le signal u(t) = 3 + 2\,t est tracé sur [0\ ;\ 4\ s] avec l'escalier qui garde, dans chaque colonne, la valeur de gauche. Les 24 mailles colorées en vert d'eau sont entièrement sous la courbe : elles donnent 24\ V·s. Dans chaque colonne, une maille est traversée par la courbe (8 en tout) et ne compte que pour sa partie située sous la courbe. L'aire exacte, celle d'un trapèze, vaut 3 + 11/2 4 = 28\ V·s. Maille Nombre de mailles pleines Aire obtenue Écart avec 28\ V·s 0,5\ s 2\ V 24 24\ V·s -4\ V·s 0,25\ s 1\ V 104 26\ V·s -2\ V·s 0,25\ s 0,5\ V 216 27\ V·s -1\ V·s • Diviser les deux dimensions de la maille par deux divise la surface d'une maille par quatre et multiplie à peu près par quatre le nombre de mailles pleines (24 puis 104) ; l'erreur, elle, n'est divisée que par deux (-4 puis -2\ V·s). La dernière ligne, où seule la hauteur est divisée par deux, donne encore -1\ V·s. 2. Pourquoi on préfère des rectangles Compter à la main des centaines de carrés est long et imprécis. Sur un écran d'acquisition, on remplace chaque petit carré par un rectangle de même largeur : c'est exactement la même idée, mais calculable. • Rectangle de largeur t et de hauteur u(t_k) : son aire vaut u(t_k) t. • On empile ces rectangles : l'aire approchée est la somme des aires des rectangles. • On choisit la hauteur à gauche ou à droite de chaque intervalle : deux estimations encadrent la valeur cherchée. • Cette méthode ne demande aucune formule nouvelle, seulement des multiplications et des additions. • Le comptage manuel reste utile comme contrôle : quelques mailles suffisent à rejeter une estimation qui sort de l'ordre de grandeur attendu. • Un signal qui change de monotonie impose de découper l'intervalle : l'aire se calcule alors morceau par morceau. • Une aire estimée se présente toujours avec son unité et, si possible, avec la maille qui a servi à la calculer. 3. Du comptage à l'estimation • Une aire obtenue par comptage est une estimation : elle dépend de la maille choisie, et l'élève qui change de maille n'obtient pas exactement le même nombre. • Pour une même maille, deux élèves qui comptent les carrés coupés peuvent obtenir des résultats différents : c'est normal, la part de maille comptée est une estimation. • Un intervalle borné et un signal monotone donnent un encadrement simple : l'estimation par la valeur à gauche et l'estimation par la valeur à droite. • L'unité du résultat est le produit des unités des deux axes : volt fois seconde (V·s), ampère fois seconde (A·s, c'est-à-dire le coulomb), newton fois seconde (N·s) ; une vitesse en m/s multipliée par des secondes donne des mètres. 4. Deux pièges d'unité et de lecture • Oublier l'unité de la maille. Compter des carrés ne donne un résultat en unités internationales qu'après avoir multiplié par la surface d'un carré. • Compter comme des carrés pleins les mailles que la courbe traverse : c'est la source d'erreur principale du comptage manuel. • Compter les carrés d'un graphique dont les axes ne sont pas gradués régulièrement : il faut toujours lire les valeurs sur les graduations, jamais supposer qu'un carré vaut une unité. • Ne compter que les mailles pleines : sur la figure, les huit mailles traversées par la courbe sont alors…

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