Puissances et racines de nombres positifs de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• a^-n = 1a^n pour a 0 : un exposant négatif donne l'inverse, jamais un nombre négatif. • a^m a^n = a^m+n, (a^m)^n = a^m n et (a\,b)^n = a^n\,b^n. • Pour a 0, a est le nombre positif de carré a : (a)^2 = a et a\,b = a b. • Ni la puissance ni la racine ne se distribuent sur une somme : 9 + 16 3 + 4.

Le cours

1. Puissances et racines, outils de manipulation Une puissance est un produit abrégé : a^n signifie n facteurs a. Pour a 0, on définit aussi a^-n = 1a^n : l'exposant est alors un entier relatif. a^m a^n = a^m+n (ab)^n = a^n\,b^n a^-n = 1a^n • a^0 = 1 pour a 0 : c'est une convention, compatible avec la règle a^m a^0 = a^m. • Un exposant négatif correspond à une écriture en fraction : 3^-2 = 1/9. • Pour a 0, a est le nombre positif dont le carré vaut a : 49 = 7 car 7^2 = 49, et l'on a toujours (a)^2 = a. • Pour a 0 et b 0 : a b = a b, ce qui permet d'écrire 50 = 25 2 = 52. Écriture Calcul Valeur (2\,t)^3 on élève le produit au cube 8\,t^3 t^-2 on met 1 au dénominateur 1t^2 28 on ramène à la même racine 16 = 4 3^0 convention pour une base non nulle 1 5^3 5^-1 on additionne les exposants 5^2 = 25 (t^2)^3 on multiplie les exposants t^6 50 on fait apparaître un carré : 50 = 25 2 52 2. Pourquoi ces outils reviennent dans ce chapitre Une primitive se contrôle toujours en dérivant le résultat obtenu. Or dériver une puissance, c'est multiplier par l'exposant : on a donc besoin de manipuler les exposants dans les deux sens. • Une fonction de dérivée 3\,t^2 est t^3 : on augmente l'exposant de 1 (de 2 à 3) et l'on divise le coefficient 3 par ce nouvel exposant 3. • Une fonction de dérivée t^-2 s'obtient de même : l'exposant augmenté de 1 vaut -1, on divise par -1 et l'on obtient -t^-1 = -1/t. Sans la règle a^-n = 1a^n, ce résultat est illisible. • Le cas de l'exposant -1 est particulier : l'exposant augmenté de 1 vaut 0, et l'on ne peut pas diviser par 0 ; un signal de dérivée 1/t sera approché par la méthode d'Euler. • Les puissances de 10 suivent les mêmes règles : 10^3 10^-5 = 10^-2 = 0,01, ce qui sert à passer des millisecondes aux secondes. • Une racine carrée n'existe que pour un nombre positif ou nul : -4 n'a pas de sens, car aucun carré n'est négatif. • Une puissance d'exposant négatif se lit sur un graphique comme une décroissance rapide : elle s'aplatit vers l'axe des temps sans jamais l'atteindre. 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 i(2) = 1,5 mA i(1) = 6 mA temps t en secondes intensité i en milliampères La figure représente le courant de fuite i(t) = 6\,t^-2 d'un capteur, en milliampères : i(1) = 6, i(2) = 6/4 = 1,5 et i(3) = 6/9 0,67. Quand t double, t^2 est multiplié par 4, donc le courant est divisé par 4. 3. Trois erreurs classiques • 9 + 16 = 9 + 16 est faux : 25 = 5 alors que 3 + 4 = 7. La racine se distribue sur un produit, jamais sur une somme. • a^2 = a n'est vrai que pour a 0 : une racine carrée est toujours positive, et (-3)^2 = 9 = 3. • (2\,t)^3 ne vaut pas 2\,t^3 mais 8\,t^3 : la puissance se distribue sur un produit, elle ne se distribue pas sur une somme. • Multiplier les exposants au lieu de les additionner : 2^3 2^2 = 2^5 = 32, et non 2^6 = 64. On ne multiplie les exposants que pour une puissance de puissance : (2^3)^2 = 2^6. • Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif : 2^-3 = 1/8 est positif, c'est l'inverse de 2^3. Ces règles reviennent sans arrêt dans le chapitre : réécrire 1t^2 en t^-2, développer (2\,t)^3, diviser un coefficient par un exposant. Une erreur de puissance commise au départ se retrouve dans tous les résultats suivants. • Contrôler une égalité de puissances en remplaçant les lettres par un nombre simple : si une égalité est vraie pour toute valeur, elle l'est aussi pour a = 2 et b = 3. • Une puissance de puissance se traite avant toute division : écrire d'abord (t^2)^3 = t^6 évite des calculs de coefficients inutiles.

Dans ce chapitre