Comparaison de deux méthodes d'intégration approchée

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Trois méthodes : rectangles à gauche, rectangles à droite, trapèzes qui valent la moyenne des deux premières. • Gauche et droite encadrent l'aire réelle quand le signal garde une monotonie sur l'intervalle. • Les trapèzes sont exacts pour un signal affine et bien plus justes que les rectangles pour un signal courbe. • Diviser le pas par deux divise l'erreur des rectangles par environ deux, celle des trapèzes par environ quatre.

Le cours

1. Trois estimations pour la même aire On dispose d'un signal u(t) échantillonné régulièrement. L'aire sous le signal peut être estimée de trois manières, qui ne donnent pas le même résultat. A_G = t u(t_k) A_D = t u(t_k+1) A_T = A_G + A_D/2 = t u(t_k) + u(t_k+1)2 • Les deux premières méthodes encadrent l'aire réelle si le signal garde la même monotonie sur l'intervalle. • La troisième, dite des trapèzes, utilise la moyenne des deux hauteurs : elle remplace le haut de chaque rectangle par le segment qui joint les deux points de mesure, ce qui réduit fortement l'erreur. • Sur un signal rectiligne, les trapèzes donnent l'aire exacte : les rectangles à gauche et à droite encadrent alors cette valeur exacte. • Le coût de calcul est presque le même : les trois méthodes utilisent les mêmes mesures, les trapèzes ajoutent seulement une moyenne par intervalle. • Les trois méthodes ne demandent que des multiplications et des additions : aucune formule nouvelle n'est nécessaire. • On peut calculer les trois pour vérifier l'une l'autre : si les trapèzes égalent la moyenne des deux autres, c'est que le calcul est juste. 2. Comparaison chiffrée sur un signal courbe On prend u(t) = 2\,t^2 + 3, en volts, sur [0\ ;\ 4\ s] avec t = 1\ s. Les cinq mesures sont 3, 5, 11, 21 et 35\ V. Une référence obtenue avec un pas beaucoup plus fin vaut 54,7\ V·s. Méthode Calcul Valeur Écart Rectangles à gauche 1 (3 + 5 + 11 + 21) 40\ V·s -14,7\ V·s Rectangles à droite 1 (5 + 11 + 21 + 35) 72\ V·s +17,3\ V·s Trapèzes 1/2(3 + 25 + 211 + 221 + 35) 56\ V·s +1,3\ V·s • Sur ce signal, qui s'accélère, la méthode à gauche sous-estime, la méthode à droite surestime : les deux estimations encadrent bien la référence. • Les trapèzes réduisent l'erreur d'un facteur dix : c'est le gain le plus rapide accessible. • Mais les trapèzes ne sont pas exacts ici : la courbure du signal les en empêche. • Sur un signal croissant dont la pente diminue (courbe qui s'aplatit), les trapèzes sous-estiment ; les rectangles à gauche, eux, sous-estiment toujours un signal croissant, quelle que soit sa courbure. • Une méthode se juge toujours avec une valeur de référence : sans elle, aucune des trois estimations n'a de statut particulier. 3. Lecture du graphique 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40 rectangles à gauche : 40 trapèzes : 56 signal réel référence 54,7 temps t en secondes u en volts Les rectangles verts figurent la méthode à gauche, la ligne brisée orangée les trapèzes : on voit immédiatement que les trapèzes épousent beaucoup mieux la courbe, tandis que les rectangles à gauche laissent un large triangle vide sous la courbe. Sur un signal qui accélère, l'erreur des rectangles à gauche croît avec le temps. • Le choix de la méthode dépend donc du signal : croissant et accéléré, il faut des trapèzes ; un signal presque plat, des rectangles à gauche suffisent. • Une méthode se juge toujours sur un essai : on compare deux estimations sur une mesure dont on connaît le résultat, puis on généralise. • Une valeur encadrée entre deux estimations est plus honnête qu'une valeur unique : elle indique l'incertitude du calcul. 4. Pièges • Croire que les trapèzes donnent toujours l'aire exacte : c'est faux dès que le signal n'est pas une droite, comme le montre l'écart de 1,3\ V·s. • Annoncer un encadrement gauche-droite sur un signal qui change de monotonie : il n'est plus garanti, il faut découper l'intervalle. • Calculer les trapèzes en oubliant que chaque mesure intérieure appartient à deux trapèzes : dans t/2(u_0 + 2\,u_1 + + 2\,u_n-1 + u_n), seules les deux mesures extrêmes ne sont pas doublées. • Changer de méthode sans changer de pas de temps : l'erreur dépend des deux, et c'est souvent le pas qui joue le plus. • Utiliser les trapèzes sur un intervalle où il manque une mesure à une extrémité : la formule exige les deux hauteurs de chaque intervalle. • Annoncer une erreur absolue sans la comparer à la valeur calculée : 1,3\ V·s sur 54,7\ V·s, c'est environ 2,4\ \%.

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