Reconstitution d'un signal à partir de sa dérivée

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Reconstruire un signal à partir de sa dérivée revient à chercher une primitive, puis à fixer la constante par la mesure initiale. • Par accumulation, on ajoute à chaque instant l'aire du rectangle de largeur t : u_k+1 u_k + u'(t_k)\, t. • Avec une dérivée croissante, l'accumulation par rectangles à gauche sous-estime systématiquement le signal. • L'écart dû au pas de temps est proportionnel à t : le diviser par deux divise l'erreur par deux.

Le cours

1. Le problème concret Un capteur fournit souvent le taux de variation d'une grandeur : la vitesse d'un vérin, le débit d'une pompe, la charge par seconde d'un accumulateur. Pour piloter la commande, il faut remonter à la grandeur elle-même : c'est le problème de la reconstruction. • Reconstruire un signal, c'est trouver une primitive, puis fixer la constante avec la mesure initiale. • Une primitive d'une vitesse est une position, une primitive d'un débit est un volume : la grandeur reconstruite a un sens physique précis. • Si la dérivée n'est connue qu'à des instants de mesure, la reconstruction se fait par accumulation. • Le résultat est une approximation : il faut l'annoncer comme telle et comparer au relevé. • L'unité du signal reconstruit s'obtient en multipliant celle de la dérivée par une durée : des m/s donnent des mètres, des L/s des litres, des V/s des volts. • L'accumulation est la méthode d'Euler appliquée à u' = f(t) : la pente ne dépend que du temps, elle est lue directement dans le relevé. • La reconstruction part toujours de la mesure initiale u(t_0), même quand la dérivée est nulle au départ : partir de zéro par habitude décale tout le signal. 2. Deux façons de reconstruire Par primitive : si l'on connaît l'expression de la dérivée, on lit le tableau des primitives, on obtient la forme générale du signal, puis la mesure initiale fixe la constante. Par accumulation : si l'on ne connaît que des valeurs de la dérivée, on ajoute à chaque instant l'aire du petit rectangle qui le sépare de l'instant précédent : u_k+1 u_k + u'(t_k)\, t 0 0,5 1 1,5 2 0 4 8 12 + 2 V + 3 V + 4 V + 5 V dérivée u'(t) temps t en secondes pente u' en volts par seconde Avec u'(t) = 4, 6, 8, 10\ V/s relevés tous les 0,5\ s et u(0) = 0, chaque rectangle ajoute 2, 3, 4 puis 5\ V : le signal reconstruit vaut 2, 5, 9 puis 14\ V. Instant Dérivée relevée Incrément de l'aire Signal reconstruit 0\ s 4\ V/s — 0\ V 0,5\ s 6\ V/s +2\ V 2\ V 1\ s 8\ V/s +3\ V 5\ V 1,5\ s 10\ V/s +4\ V 9\ V 2\ s — +5\ V 14\ V 3. Comparaison avec le signal exact 0 0,5 1 1,5 2 0 4 8 12 16 signal exact : 16 V reconstitution : 14 V temps t en secondes tension u en volts La dérivée u'(t) = 4\,t + 4 a pour primitive u(t) = 2\,t^2 + 4\,t, avec u(0) = 0. Cette fonction vaut 16\ V en t = 2\ s, alors que l'accumulation donne 14\ V. Les rectangles sont pris à gauche d'un signal croissant : ils sont sous la courbe, donc l'aire est sous-estimée. • L'écart vaut exactement t u'(2) - u'(0)/2 = 0,5 4 = 2\ V. • Diviser t par deux divise cet écart par deux : avec 0,25\ s, on obtiendrait 15\ V. • Tant que la dérivée reste croissante (ou reste décroissante), l'écart garde le même signe à chaque pas : l'erreur est systématique, et non aléatoire. • Avec des rectangles à gauche, l'accumulation sous-estime le signal quand la dérivée croît et le surestime quand la dérivée décroît. • Une mesure initiale fausse se propage telle quelle : une erreur de 1\ V au départ produit 1\ V d'erreur à l'arrivée. 4. Pièges • Oublier la mesure initiale : le signal reconstruit est alors décalé d'une constante, et toutes les valeurs sont fausses d'autant. • Confondre la dérivée et le signal : accumuler des valeurs qui sont déjà des positions, et non des vitesses, produit une grandeur sans signification. • Oublier de multiplier par t : ajouter directement 4 + 6 + 8 + 10 donnerait 28\ V au lieu de 14\ V, un résultat faux d'un facteur 1/ t = 2. • Présenter la valeur accumulée comme exacte alors qu'elle dépend du pas d'échantillonnage : deux acquisitions de pas différents ne donnent pas le même signal reconstruit. • Appliquer la formule des puissances à une dérivée non décomposée, comme 4\,(t + 1) au lieu de 4\,t + 4. • Mélanger les méthodes au fil du calcul, valeur de gauche à un pas et moyenne de deux instants au pas suivant : l'erreur devient imprévisible. On garde une seule règle sur tout le relevé.

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