Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives, méthode d'Euler et intégration approchée d'un signal

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Primitive : on connaît la dérivée, on retrouve la fonction, puis on fixe la constante avec une mesure. • Méthode d'Euler : on connaît l'équation différentielle, on calcule point par point avec un pas de temps choisi. • Somme de rectangles : on connaît un relevé, on quantifie une aire, encadrée par les méthodes à gauche et à droite. • Valeur moyenne : l'aire divisée par la durée, elle remplace le signal par une constante équivalente.

Le cours

1. Quatre outils, quatre questions Ce chapitre tient en quatre outils qui répondent à quatre questions distinctes. Les confondre est l'erreur la plus fréquente dans les sujets de synthèse. Question posée Outil Résultat Quelle fonction a pour dérivée ce signal ? primitive et constante d'intégration une fonction, plus une constante à fixer par une mesure Comment évolue un système décrit par une équation différentielle ? méthode d'Euler une liste de points (t, y) approchant la solution Quelle quantité a été accumulée ou échangée ? somme de rectangles une aire approchée, en V·s, A·s, L Par quelle valeur constante remplacer le signal ? valeur moyenne l'aire divisée par la durée • Les primitives servent à remonter : du nombre dérivé vers la fonction. • L'algorithme d'Euler sert à descendre : d'une équation différentielle vers des points calculés. • Les rectangles servent à quantifier : une grandeur cumulée sur un intervalle. • La moyenne sert à remplacer : un signal par une seule valeur représentative. • Une primitive sert enfin à relier deux grandeurs : une vitesse et une position, un débit et un volume, une puissance et une énergie. 2. Comment choisir, en pratique • La dérivée est connue et on cherche la fonction : primitive, puis condition initiale. • L'équation différentielle est connue et on cherche l'évolution : algorithme d'Euler, pas de temps h choisi selon la précision. • Un relevé est disponible et on cherche une quantité cumulée : rectangles, en encadrant le résultat par les méthodes à gauche et à droite. • Un relevé est disponible et on cherche une valeur représentative : moyenne de l'aire sur la durée, ou moyenne arithmétique si les instants sont équidistants. • Un signal change de signe : l'aire algébrique compte en négatif, l'aire totale non. • Un calcul est refait : changer de pas de temps et vérifier la stabilité du résultat. • Les quatre outils s'enchaînent sur un même système : primitive pour lire un signal, Euler pour le suivre dans le temps, rectangles pour le quantifier, moyenne pour le commander. • L'unité contrôle le résultat : une primitive d'un signal en V/s est en volts, une aire sous un signal en volts est en V·s, une moyenne a l'unité du signal. 3. Une étude complète, de la dérivée à la moyenne 0 1 2 3 4 5 6 0 4 8 12 valeur moyenne 6,8 V aire Euler, h = 1 s mesure temps t en secondes tension u en volts Un condensateur se charge sous 12\ V : sa tension vérifie du/dt = 4 - u/3, avec u(0) = 0. La figure réunit les trois démarches. • Algorithme d'Euler avec h = 1\ s : 0, 4,00, 6,67, 8,44, 9,63, 10,42 puis 10,95\ V, pour des mesures de 3,40, 5,84, 7,59, 8,84, 9,73 et 10,38\ V. • Aire approchée par trapèzes avec t = 0,5\ s : 40,8\ V·s sur les six premières secondes. • Valeur moyenne : 40,8 / 6 6,8\ V, représentée par le rectangle jaune, qui a la même aire que la région sous la courbe. • Pente moyenne : la moyenne de la dérivée du/dt sur [0\ ;\ 6\ s] vaut u(6) - u(0)/6 10,386 1,73\ V/s ; c'est une vitesse de variation, à ne pas confondre avec la tension moyenne de 6,8\ V. 4. Les pièges du chapitre • Chercher une primitive de 1/x ou de 1/t : hors du programme de 1ère. • Oublier la constante d'intégration, et rester avec une famille de courbes au lieu d'une courbe. • Se contenter d'Euler quand la partie droite ne dépend que du temps, u' = f(t) : une primitive donne alors la solution exacte, Euler seulement une approximation (les rectangles à gauche). • Avancer le signal sans avancer le temps dans le tableau de calcul. • Compter un rectangle de trop, ou oublier de convertir en secondes les millisecondes du graphique. • Annoncer une aire sans préciser si elle est signée, et une moyenne sans préciser l'intervalle. • Chercher une primitive de 4 - u/3 comme si u était connu : dès que l'inconnue figure dans la partie droite, seule la méthode d'Euler s'applique à ce niveau. • Utiliser les rectangles pour calculer une primitive, alors que le tableau des primitives suffit et donne un résultat exact.

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