Intégrale approchée d'un signal par sommes de rectangles

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• L'aire approchée s'obtient en additionnant les aires de rectangles de largeur t : A t ( u(t_0) + u(t_1) + + u(t_n-1) ). • La méthode à gauche et la méthode à droite encadrent l'aire réelle quand le signal garde une monotonie. • Le nombre de rectangles vaut le nombre d'intervalles, soit le nombre de mesures moins un. • L'unité du résultat est le produit des deux axes : V·s, A·s, L.

Le cours

1. L'idée : une aire se décompose en rectangles On veut l'aire située entre la courbe d'un signal u(t) et l'axe des temps, sur un intervalle donné. On remplace la portion de courbe par des rectangles de largeur t, on calcule l'aire de chacun, puis on additionne. A u(t_0)\, t + u(t_1)\, t + + u(t_n-1)\, t = t _k=0^n-1 u(t_k) • Le résultat est une approximation : on l'annonce comme telle, jamais comme une valeur exacte obtenue par une formule. • L'unité du résultat est le produit des deux axes : V·s, A·s, L. • Le terme t porte l'unité du temps et chaque u(t_k) celle du signal : leur produit porte l'unité de l'aire, ce qui constitue un contrôle immédiat. • Des aires estimées sur des intervalles disjoints s'additionnent : une charge puis une décharge donnent un bilan par simple somme. • La même méthode donne un débit moyen, une charge transférée ou un volume distribué : seul le nom des grandeurs change. • Le nombre de rectangles est le nombre d'intervalles, donc le nombre de mesures moins un quand on prend les valeurs aux instants de mesure. • Cette méthode ne demande ni dérivée ni primitive : c'est un calcul de géométrie, adapté à tous les signaux. 2. Deux façons de choisir la hauteur Chaque rectangle a besoin d'une hauteur. On peut prendre la valeur du signal à gauche de l'intervalle, ou à droite : on obtient deux estimations, l'une plutôt trop grande, l'autre plutôt trop petite. Méthode Hauteur du rectangle Signal croissant Signal décroissant À gauche u(t_k) trop petite trop grande À droite u(t_k+1) trop grande trop petite Pour le signal u(t) = 3 + 2\,t sur [0\ ;\ 4\ s] avec t = 1\ s, la méthode à gauche donne 3 + 5 + 7 + 9 = 24\ V·s et la méthode à droite donne 5 + 7 + 9 + 11 = 32\ V·s. L'aire réelle, obtenue par l'aire du trapèze vue au collège, vaut 28\ V·s : les deux estimations l'encadrent. • L'encadrement n'est valable que si le signal ne change pas de monotonie sur l'intervalle : il faut alors découper en morceaux. • Plus t est petit, plus les deux estimations se rapprochent l'une de l'autre. • En pratique, on calcule les deux et on annonce une valeur encadrée : c'est plus honnête qu'une valeur unique sans précision. • Une hauteur peut aussi être lue sur la courbe entre deux mesures, plutôt que prise dans le tableau : l'estimation change, mais la méthode reste la même. • Sur l'écran d'un oscilloscope, l'aire se calcule avec la même somme de rectangles : c'est une fonction fournie par l'appareil, et non un nouveau calcul. 3. Les rectangles sur le graphique 0 1 2 3 4 0 5 10 3 5 7 9 rectangles à gauche : 24 signal temps t en secondes u en volts Chaque rectangle a une largeur de 1\ s et une hauteur égale au signal mesuré au début de l'intervalle : les quatre rectangles fournissent 24\ V·s. Le contour en escalier orange suit le haut des rectangles et la droite bleue représente le signal : les petits triangles compris entre les deux forment l'erreur due aux rectangles. • On voit directement pourquoi la méthode à gauche sous-estime ici : chaque rectangle est plaqué sous la courbe. • Le signal étant une droite de pente 2\ V/s, chaque rectangle manque le même triangle d'aire 1 2/2 = 1\ V·s : quatre triangles, soit exactement 28 - 24 = 4\ V·s. 4. Pièges • Compter n rectangles au lieu de n - 1 quand on dispose de n mesures : on ajoute à tort un rectangle d'aire t multiplié par la dernière mesure. • Mélanger les unités du graphique et celles du système : des millisecondes multipliées par des millivolts donnent des mV·ms ; annoncés en V·s, ils rendent le résultat un million de fois trop grand. • Utiliser la valeur mesurée à t = 4\ s pour le dernier rectangle de la méthode à gauche : par définition cette valeur n'entre pas dans le calcul. • Annoncer une aire négative alors que le signal est positif sur tout l'intervalle : cela signale une erreur de signe dans les données.

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