Valeur moyenne d'un signal sur un intervalle

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• La valeur moyenne d'un signal sur [a\ ;\ b] est l'aire sous le signal divisée par la durée : M = A / (b - a). • Elle a la même unité que le signal et se lit comme la hauteur du rectangle de même aire. • La moyenne arithmétique des échantillons n'est juste que si les instants de mesure sont équidistants. • Sur une période entière d'un signal périodique, la moyenne est sa composante continue.

Le cours

1. Définition et sens physique La valeur moyenne d'un signal u(t) sur un intervalle [a\ ;\ b] est l'aire sous le signal divisée par la durée de l'intervalle ; en pratique, on utilise l'aire approchée par des rectangles. M = A/b - a t ( u(t_0) + + u(t_n-1) )b - a • La valeur moyenne est une tension, une intensité ou un débit : elle a la même unité que le signal. • Elle répond à une question concrète : par quelle tension constante remplacer le signal pour obtenir la même aire ? • Elle dépend de l'intervalle choisi : pour u(t) = 4\,t + 2, la moyenne vaut 4\ V sur [0\ ;\ 1] mais 8\ V sur [0\ ;\ 3]. Seul un signal périodique, pris sur une période entière, donne la même moyenne quel que soit l'instant de départ. • Sur une période entière d'un signal qui se répète, la valeur moyenne est la composante continue du signal : c'est le niveau qu'il faut retirer pour obtenir un signal centré sur zéro. • Une moyenne se calcule sur un intervalle qui a un sens physique : une période, une durée de cycle, une durée de charge. • Elle sert de valeur de consigne : un régulateur qui maintient la moyenne d'un signal à une valeur donnée pilote directement la grandeur moyenne du système. 2. Trois méthodes de calcul Méthode Opération Précision Moyenne arithmétique des échantillons u_1 + + u_n divisé par n bonne si les échantillons sont équidistants Aire approchée divisée par la durée A u_k\, t_k puis A/b-a valable aussi quand les durées t_k diffèrent Valeur lue sur l'aire d'un trapèze (u(a) + u(b))/2 pour un signal linéaire exacte si le signal est une droite • Si les instants de mesure sont régulièrement espacés, les deux premières méthodes donnent le même résultat : c'est le cas le plus courant en acquisition. • Si l'échantillonnage est irrégulier, seule la seconde méthode a du sens. • Pour un signal périodique, on calcule la moyenne sur une période entière, jamais sur une partie quelconque. • Deux signaux de même moyenne peuvent avoir des allures très différentes : la moyenne ne décrit donc qu'une partie de l'information. • La valeur moyenne utilise l'aire algébrique : les parties sous l'axe comptent négativement, si bien qu'un signal qui change de signe peut avoir une moyenne nulle. Signal sur [0\ ;\ 3\ s] Aire sur l'intervalle Valeur moyenne triangulaire, de 0 à 6 puis retour à 0 9\ V·s 3,0\ V croissant de 2 à 14 en droite 24\ V·s 8,0\ V constant à 5 15\ V·s 5,0\ V 3. La moyenne sur un graphique 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 4 8 12 16 valeur moyenne 8 V signal u(t) temps t en secondes tension u en volts Le signal u(t) = 4\,t + 2 monte de 2 à 14\ V sur trois secondes. L'aire vaut celle d'un trapèze, soit 24\ V·s, donc une moyenne de 24 / 3 = 8\ V. Le rectangle jaune a la même aire que la région sous la courbe : c'est la lecture géométrique de la valeur moyenne. • La valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum du signal : ici entre 2 et 14\ V. • Pour un signal qui oscille autour d'une valeur, la moyenne est proche de l'axe d'équilibre, et non du maximum atteint. • Une moyenne nulle signifie que l'aire au-dessus de l'axe compense exactement l'aire au-dessous, pas que le signal passe autant de temps de chaque côté. • Après t = 1,5\ s, le signal dépasse le rectangle jaune ; avant, il reste en dessous. Les deux triangles ont la même aire : c'est cette compensation qui définit la moyenne. • Pour un signal affine, la moyenne est exactement au milieu des extrêmes, 2 + 14/2 = 8\ V, et elle est atteinte au milieu de l'intervalle, en t = 1,5\ s. 4. Pièges • Confondre la moyenne avec la valeur finale : ici 14\ V n'est pas la moyenne. • Diviser par le nombre de mesures au lieu de la durée quand l'échantillonnage n'est pas régulier. • Utiliser une période incomplète : la moyenne d'un signal triangulaire calculée sur la seule phase de montée n'est pas la moyenne du signal. • Oublier l'unité et annoncer une valeur moyenne sans tension ni intensité. • Utiliser la formule du trapèze sur un signal qui n'est pas une droite : elle reste une estimation, proche…

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