Calcul d'une primitive par combinaison linéaire

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Si F et G sont des primitives de f et g, alors a\,F + b\,G est une primitive de a\,f + b\,g. • Un coefficient constant reste en facteur : une primitive de 5\,x^3 est 5 x^44. • Un produit ou une puissance d'expression se développe avant d'appliquer le tableau. • Toutes les primitives s'écrivent F(x) + C : une seule constante suffit pour toute la somme.

Le cours

1. La règle qui évite presque tout calcul Une somme de fonctions se primitive terme à terme, et un facteur constant peut être sorti librement. Cette propriété découle de la dérivation d'une somme et d'un produit par un nombre. (a\,F + b\,G)' = a\,F' + b\,G' donc a\,f + b\,g a pour primitive a\,F + b\,G + C • Une différence est une somme avec un coefficient négatif : une primitive de 4 - 3\,x est 4\,x - 3/2\,x^2. • Un produit de deux polynômes doit être développé avant d'appliquer le tableau. • Le facteur constant reste en facteur : une primitive de 7(x) est 7(x), une primitive de -2(x) est 2(x). • Après le calcul, on dérive le résultat obtenu : on doit retrouver chaque terme de la fonction de départ, coefficient compris. • Un terme en 1/x dans la fonction à primitiver impose de changer d'outil : on passe alors par la méthode d'Euler, vue plus loin dans le chapitre. • Pour un sinus ou un cosinus de a\,t, on divise par a : une primitive de (3\,t) est -1/3(3\,t), dont la dérivée redonne bien (3\,t). 2. Les quatre gestes, dans l'ordre Étape Geste Exemple 1 Développer et réorganiser (2x-1)(x+3) 2x^2 + 5x - 3 2 Séparer les termes connus 2x^2 + 5x - 3 : puissances puis constante 3 Appliquer le tableau à chaque terme 2x^2 2/3x^3, 5x 5/2x^2, -3 -3x 4 Dériver pour vérifier (aF + bG)' = af + bg • Si la fonction contient une fraction 1/x, arrêter là : on change de méthode. La linéarité facilite aussi la vérification : si la dérivée du résultat ne redonne pas la fonction de départ, on sait exactement quel terme refaire, puisque chaque terme a été traité séparément. • Un facteur devant une parenthèse se distribue d'abord : 2\,(3\,x - 2) = 6\,x - 4, qui a pour primitive 3\,x^2 - 4\,x. • Une combinaison linéaire à plusieurs fonctions connues se reconstitue en une seule fois : primitiver a\,f + b\,g revient à additionner a\,F et b\,G. • Une puissance d'une expression, comme (2\,x + 1)^2, se développe avant tout : 4\,x^2 + 4\,x + 1 a pour primitive 4/3\,x^3 + 2\,x^2 + x. 3. Voir la somme des primitives Le signal u(t) = 2\,t^2 + 3 est la somme du signal 2\,t^2 et d'une constante 3. Sa primitive est la somme des primitives : U(t) = 2/3\,t^3 + 3\,t + C. Chaque terme se reconstitue séparément, comme le suggère la figure : en chaque instant, la hauteur de la courbe « somme » est l'addition des hauteurs des deux autres courbes. 0 1 2 3 4 0 10 20 30 2 t² 3 somme temps t en secondes u en volts À l'inverse, si l'on connaît deux signaux et que l'on cherche celui qui correspond à leur somme, on peut primitiver chacun puis additionner : l'opération se fait dans un sens comme dans l'autre. • Une différence s'obtient de la même manière, en prenant un coefficient négatif : la primitive de 3 - 2\,x est 3\,x - x^2, et non 3 - 2\,x. • L'opération inverse se traite de la même façon : on additionne les dérivées puis on reconstitue une seule fois le signal. 4. Ce qui fait perdre des points • Oublier la constante : le résultat est alors une primitive et non toutes les primitives. • Appliquer x^n+1n+1 à une somme comme si c'était une seule puissance : (2x^2 + 3)^3/4 n'est pas une primitive. • Se tromper de signe sur la ligne du sinus : une primitive de (x) est -(x), alors qu'une primitive de (x) est (x), sans signe moins. • Présenter un résultat sans l'unité : une primitive d'une vitesse de variation en volts par seconde s'exprime en volts, une primitive d'un courant en ampères s'exprime en coulombs. • Primitiver un produit facteur par facteur : (2\,x - 1)(x + 3) n'a pas pour primitive (x^2 - x)(x^22 + 3\,x) ; il faut développer d'abord. • Diviser par l'ancien exposant : une primitive de 6\,x^2 est 2\,x^3 (division par 3), et non 3\,x^3.

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