Aire algébrique et signe de l'intégrale approchée

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un rectangle situé en dessous de l'axe des temps reçoit une hauteur négative : l'aire algébrique est une somme avec signes. • L'aire algébrique est un solde, elle peut être nulle alors que l'aire totale est importante. • L'aire totale, sans signe, mesure tout ce qui a été échangé dans les deux sens. • Le signe du bilan se lit directement sur les rectangles colorés du graphique.

Le cours

1. Un rectangle peut avoir une hauteur négative Lorsque le signal passe en dessous de l'axe des temps, les rectangles correspondants sont situés en dessous de cet axe. On leur donne alors une hauteur négative : l'aire algébrique est la somme des aires, positives et négatives confondues. A t _k=0^n-1 u(t_k) avec u(t_k) • L'aire algébrique mesure un solde : ce qui reste quand on a retranché ce qui est sorti du système. • L'aire totale, sans signe, mesure la quantité totale échangée dans les deux sens : elle additionne toutes les aires comptées positivement, au-dessus comme au-dessous de l'axe. • Les deux grandeurs ne coïncident que si le signal garde le même signe sur tout l'intervalle. • Chaque fois qu'un signal change de signe, l'aire algébrique peut se rapprocher de zéro alors que l'aire totale reste importante. • Le signe d'une aire algébrique se lit sans calcul : il suffit de voir si la surface positive l'emporte sur la surface négative. • Deux signaux opposés ont des aires algébriques opposées et la même aire totale : c'est la différence entre un bilan et une quantité échangée. • Le point où le signal s'annule partage l'intervalle en deux zones qu'on peut calculer séparément, ce qui simplifie les calculs. 2. Exemple complet, calculé pas à pas Soit le signal u(t) = 2\,t - 4, en volts, observé sur [0\ ;\ 6\ s] avec un pas de 0,5\ s. Les douze hauteurs sont -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Grandeur Calcul Résultat Somme des hauteurs -10 + 28 18 Aire algébrique approchée 0,5 18 9\ V·s Aire algébrique réelle triangle positif de 16\ V·s moins triangle négatif de 4\ V·s 12\ V·s Aire totale 4 + 16 20\ V·s • Le signal s'annule en t = 2\ s : tout se joue de part et d'autre de cet instant. • L'estimation à gauche vaut 9\ V·s, et non 20\ V·s : elle compte négativement la partie située sous l'axe. 3. Lecture du graphique 0 1 2 3 4 5 6 -4 0 4 8 aires + aires - temps t en secondes u en volts Les rectangles verts, au-dessus de l'axe, totalisent 28 0,5 = 14\ V·s. Les rectangles rouges, en dessous, totalisent -10 0,5 = -5\ V·s. L'aire algébrique vaut donc 14 - 5 = 9\ V·s, tandis que l'aire totale vaut 14 + 5 = 19\ V·s. • Un même signal peut donc donner 9 ou 19\ V·s selon la convention retenue : il faut toujours préciser de laquelle on parle. • Le signe de l'aire algébrique renseigne sur le bilan : positif, le système a reçu plus qu'il n'a donné ; négatif, l'inverse. • Compter les rectangles colorés par le signe du signal est un moyen rapide de repérer une erreur de signe. • L'intersection avec l'axe des temps se repère sur le graphique : c'est l'instant où le dessin change de couleur, ici t = 2\ s. • Les deux conventions se notent différemment à l'écrit : on parle d'aire algébrique pour la somme avec signes, et d'aire totale pour la somme des valeurs absolues. 4. Ce qui se compte et ce qui ne se compte pas • Se compte en négatif : un débit de vidange, une variation de température en refroidissement, un courant de décharge, une variation de niveau en baisse. • Se compte en positif : un débit de remplissage, une charge qui monte, un courant de charge, une quantité de produits évacués. • Ne se compense jamais : l'énergie dissipée par effet Joule ou par frottement, perdue quel que soit le sens du courant ou du mouvement ; elle ne s'obtient pas comme une aire algébrique. • Piège : présenter une aire algébrique comme une quantité échangée. Un bilan peut être négatif, une quantité échangée jamais : une valeur négative signale un solde. • Piège : oublier une zone sous l'axe des temps parce qu'elle est moins visible sur l'écran. • Piège : additionner une aire algébrique et une aire totale dans le même calcul, ce qui revient à additionner deux grandeurs de natures différentes.

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