Primitives de référence des fonctions usuelles

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Primitive d'une constante k : k\,x. Primitive de x^n (n -1) : x^n+1n+1. • Primitive de 1x^2 sur ]0\ ;\ +[ : -1/x ; de (x) : -(x) ; de (x) : (x). • Primitive de A( t + ) : A/( t + ) ; on divise par la pulsation . • La fonction 1/x n'a pas de primitive calculable avec les outils de 1re.

Le cours

1. Trois familles qu'il faut reconnaître instantanément Les fonctions qui apparaissent dans les signaux techniques sont presque toujours des constantes, des puissances, des sinus ou des cosinus. Pour chacune, une primitive est connue. F(x) = k\,x car (k\,x)' = k F(x) = x^n+1n+1 car (x^n+1n+1)' = x^n F(x) = -(x) car (-(x))' = (x) F(x) = (x) car ((x))' = (x) • Une constante k se primitive en k\,x : une droite de coefficient directeur k, qui passe par l'origine quand la constante C est nulle. • Une puissance x^n (n entier, n -1) se primitive en augmentant l'exposant de 1, puis en divisant par ce nouvel exposant : x^4 x^55. • Pour n = -2, la formule donne bien -1/x, qui est la primitive de 1x^2. • Les sinus et cosinus s'échangent entre primitiver et dériver, avec un signe moins sur le cosinus. • Primitiver multiplie l'unité par celle du temps : une vitesse de variation en volts par seconde redonne une tension en volts, un débit en litres par minute redonne un volume en litres. • Pour un signal sinusoïdal, une primitive de A( t + ) est A/( t + ), et une primitive de A( t + ) est -A/( t + ) : on divise par la pulsation . 2. Une ligne du tableau à laisser de côté La fonction 1/x n'a pas de primitive que l'on sache calculer avec les outils de 1ère : la formule des puissances donnerait un dénominateur nul. Cette fonction sort du programme : on se contente de constater que sa primitive existe, sans la calculer. • Conséquence pratique : si un signal contient 1/t, on ne cherche pas sa primitive ; on cherche un signal dont la dérivée est l'inverse du temps, ce qui se fera par la méthode d'Euler. • En revanche 1t^2 se primitive immédiatement, car son exposant est -2 et non -1. • Retenir aussi 1x^2 = x^-2 : c'est la même fonction, écrite autrement. • La fonction 1/x est définie et dérivable sur chacun de ses deux intervalles : l'obstacle vient des outils disponibles, et non de la fonction elle-même. • Contrôle de la ligne 1x^2 : la dérivée de -1/x = -x^-1 vaut -(-1)\,x^-2 = 1x^2, sur ]0\ ;\ +[ comme sur ]-\ ;\ 0[. 3. Un signal et sa primitive sur le même graphique Le signal u(t) = 6\,t^2 + 2 et la primitive U(t) = 2\,t^3 + 2\,t sont représentés sur la même figure. En chaque instant, la pente de la courbe verte vaut la hauteur de la courbe bleue : c'est la définition de la primitive, lue graphiquement. 0 1 2 3 4 0 50 100 150 pente u signal u(t) primitive U(t) temps t en secondes volts Autrement dit : pour retrouver la primitive d'un signal, on cherche une courbe dont la pente égale le signal en chaque point, puis on la décale pour qu'elle passe par la mesure initiale. • Le signal et sa primitive ne se distinguent pas à la seule lecture des axes : c'est l'unité du résultat qui permet de savoir lequel des deux on est en train de tracer. • Une primitive croît là où le signal est positif, même si le signal lui-même décroît : le sens de variation de U se lit sur le signe de u, pas sur ses variations. • Sur un oscillateur, une primitive de (t) est -(t) = (t - /2) : la même sinusoïde, retardée d'un quart de période. • Ce décalage vertical est le seul paramètre libre : une fois la forme obtenue, la mesure initiale suffit à tout déterminer. • Graphiquement, deux primitives du même signal se reconnaissent à leurs tangentes parallèles : c'est un bon test quand on hésite entre deux courbes. 4. Contrôle et pièges • Contrôle systématique : dériver la primitive obtenue et comparer avec la fonction de départ. C'est le seul test rapide, et il fonctionne dans les deux sens. • Piège du signe : la primitive de (x) est -(x), pas (x). De même, la primitive de -(x) est (x). • Piège de la primitive d'une constante : la primitive de 7 est 7\,x, pas 7. • Piège de l'exposant : une primitive de 20\,t^3 est 20/4\,t^4 = 5\,t^4. On divise par le nouvel exposant 4, pas par l'ancien 3 : 20/3\,t^4 aurait pour dérivée 80/3\,t^3. • Piège de la dérivée en chaîne : la dérivée de (2\,x) vaut 2(2\,x), et la primitive de 3\,(2\,x) vaut bien 3/2(2\,x). On divise par le facteur 2…

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