Pas de temps et erreur de la méthode d'Euler

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Le pas de temps h fixe le nombre de pas : t_f - t_0/h pas sur l'intervalle de travail, soit un point de plus avec le point de départ. • Diviser h par deux divise l'erreur par un peu plus de deux, mais double le nombre de calculs. • Un pas trop grand produit une oscillation ou une divergence, reconnaissables sur la courbe calculée. • L'erreur se mesure en comparant la valeur calculée à la valeur exacte ou mesurée, jamais en la supposant nulle.

Le cours

1. Le pas de temps commande tout Le pas de temps h est la durée d'un pas de l'algorithme : il vaut 1\ s si l'on calcule une valeur chaque seconde, 0,1\ s si l'on en calcule dix. On le choisit d'après la rapidité du système et la précision attendue. • Un pas trop grand donne une approximation grossière, parfois fausse, parfois oscillante. • Un pas se choisit par rapport à la constante de temps du système : ici, un pas d'une seconde pour une constante de trois secondes donne une courbe déjà correctement dessinée. • Le pas a l'unité d'un temps : avec h = 0,5\ s, chaque pas ajoute au signal la pente (en V/s) multipliée par 0,5\ s, donc des volts. • Un pas très petit donne un résultat précis, mais demande beaucoup de calculs : le nombre de pas vaut t_f - t_0/h (on obtient un point de plus en comptant le point de départ), il double quand h est divisé par 2. • L'erreur est l'écart entre la valeur approchée et la valeur exacte ou mesurée : c'est elle qui guide le choix du pas. • Un pas trop fin n'améliore rien si la mesure de départ est incertaine : l'erreur dominante n'est alors plus celle de la méthode. 2. Mesurer l'erreur sur un même système On reprend la charge du condensateur décrite précédemment, du/dt = 4 - u/3, et on calcule la tension en t = 2\ s pour trois pas différents. La mesure réelle vaut 5,84\ V. Pas h Nombre de pas Valeur calculée Mesure Écart 2\ s 1 8,00\ V 5,84\ V +2,16\ V 1\ s 2 6,67\ V 5,84\ V +0,83\ V 0,5\ s 4 6,21\ V 5,84\ V +0,37\ V 0,25\ s 8 6,02\ V 5,84\ V +0,18\ V • Diviser le pas par deux divise l'erreur par un peu plus de deux : l'erreur baisse vite, mais le nombre de calculs double. • L'erreur garde toujours le même signe ici : l'approximation reste au-dessus de la mesure, car la pente est prise au début de chaque intervalle. • Connaître la loi d'évolution exacte, quand elle est connue, permet de distinguer une erreur de la méthode d'une erreur de mesure. L'erreur vient de ce que la pente change pendant le pas, alors que la méthode la garde constante. Elle est donc la plus forte là où la pente varie vite : au début de la charge, la pente passe de 4 à 2,67\ V/s en une seconde, d'où l'écart de 2,16\ V avec un seul pas de 2\ s. • Un pas constant sur tout l'intervalle est le plus simple à programmer ; un pas variable, plus fin là où le signal bouge vite, complique l'algorithme sans nécessité au niveau de 1ère. • Le nombre de points et le nombre de calculs sont liés : diviser le pas par deux double le temps de machine, ce qui reste négligeable pour quelques centaines de points. • L'erreur se compare à la tolérance du système : si l'écart est inférieur à la précision de la mesure, l'approximation suffit pour commander la machine. 3. Deux pas sur le même graphique 0 0,5 1 1,5 2 0 2 4 6 8 h = 1 s h = 0,5 s temps t en secondes tension u en volts La ligne brisée rose, obtenue avec h = 1\ s, reste nettement au-dessus de la courbe mesurée. La ligne brisée verte, obtenue avec h = 0,5\ s, s'en approche beaucoup mieux pour un nombre de calculs double : c'est le compromis habituel en acquisition. 4. Quand le pas est trop grand • Avec h = 6\ s, l'algorithme alterne entre 0 et 24\ V : le résultat oscille sans jamais se stabiliser, alors que la tension réelle se stabilise à 12\ V. • Avec h = 12\ s, les valeurs s'envolent : 48, puis -96, puis 336\ V. La méthode diverge et le résultat devient absurde. • Une oscillation ou une divergence ne vient pas du système : elle vient du pas. Ici, il faut h • Piège classique : augmenter h pour aller plus vite, alors qu'on perd la seule information utile, la pente locale du signal.

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