Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• z = a + bi : a est l'abscisse, b l'ordonnée, et l'égalité se teste partie par partie. • z = a - bi : le conjugué ne change que le signe de la partie imaginaire, et | z| = |z|. • z z = a^2 + b^2 = |z|^2 est un réel positif, ce qui donne 1/z = z/|z|^2. • zz' = z\, z' : prendre le conjugué avant ou après le produit donne le même résultat.

Le cours

1. Une forme algébrique, ce sont deux coordonnées Un point M du plan est repéré par un couple de réels (x\,;\,y). On appelle affixe de M le nombre complexe z = x + iy : la partie réelle a = Re(z) vaut x, la partie imaginaire b = Im(z) vaut y. Tout nombre complexe s'écrit donc de façon unique z = a + bi, avec a et b réels et i^2 = -1. Cette écriture est la brique de base du chapitre : elle permet de vérifier une égalité sans dessin, et de contrôler n'importe quel résultat obtenu plus loin avec une écriture trigonométrique ou exponentielle. • z = a + bi avec a = Re(z) et b = Im(z). • a + bi = c + di si et seulement si a = c et b = d : on compare partie par partie. • z est un nombre réel si et seulement si b = 0, et un nombre imaginaire pur si et seulement si a = 0. • Les nombres i et -i sont les deux racines de t^2 + 1 = 0. 2. Le conjugué : même abscisse, ordonnée inversée Le conjugué de z = a + bi est le nombre z = a - bi : on ne change que le signe de la partie imaginaire. Géométriquement, le point d'affixe z et le point d'affixe z sont symétriques par rapport à l'axe réel. Le conjugué conserve le module : | z| = |z|. Le conjugué est surtout l'outil de simplification des quotients. Comme z z = a^2 + b^2 = |z|^2 est un réel strictement positif dès que z 0, on peut toujours multiplier un quotient par le conjugué de son dénominateur. • z + z' = z + z' et z - z' = z - z'. • z z' = z z' : prendre le conjugué avant ou après le produit donne le même résultat. • 1/z = z/z z = z/|z|^2 pour z 0. • z = z si et seulement si z est réel : c'est le test décisif pour simplifier un résultat. Nombre complexe Conjugué Produit z z Situation dans le plan 3 - 4i 3 + 4i 25 symétriques par rapport à l'axe réel, module commun 5 -2 + i -2 - i 5 même abscisse -2, ordonnées opposées 5i -5i 25 deux points de l'axe imaginaire, symétriques par rapport à l'axe réel (et par rapport à O) 4 4 16 le conjugué ne change rien : z est réel 3. Où le conjugué apparaît dans un système technique Dès qu'un système présente une symétrie, le conjugué apparaît. Un bras de guidage qui peut pointer à gauche ou à droite de l'axe horizontal est décrit par deux affixes conjuguées. Une grandeur de phase +35^ a pour conjugué la grandeur de phase -35^. En revanche, le point diamétralement opposé à un point d'affixe z sur un cercle centré sur l'origine a pour affixe -z, et non z. • Conjugué : symétrie par rapport à l'axe réel. Opposé -z : symétrie par rapport au point O. • Pour z = -2 - 3i, le conjugué est -2 + 3i et l'opposé est 2 + 3i : les deux points ne sont pas sur la même verticale.

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