Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• s(z) = az + b avec a 0 est une similitude directe, de rapport |a| et d'angle (a). • Elle vérifie |s(z_1) - s(z_2)| = |a| |z_1 - z_2| : les distances sont multipliées, pas conservées. • L'image du cercle de centre c et de rayon R est le cercle de centre ac + b et de rayon |a| R. • a = s(z_2) - s(z_1)/z_2 - z_1 puis b = s(z_1) - a z_1 permettent de retrouver la similitude.

Le cours

1. Ce qu'une similitude directe conserve Une similitude directe est une transformation s du plan d'expression s(z) = az + b avec a 0. Son rapport est |a| et son angle est (a). Elle multiplie toutes les distances par le même nombre et conserve les angles orientés : c'est ce qui la distingue d'une transformation qui retournerait le plan. • |s(z_1) - s(z_2)| = |a| |z_1 - z_2| pour tous z_1 et z_2. • Image d'un cercle de centre c et de rayon R : cercle de centre ac + b et de rayon |a| R. • Image d'un segment : un segment, de longueur multipliée par |a| et tourné de l'angle (a). • Une similitude indirecte fait intervenir z, par exemple s(z) = a z + b : le sens de rotation est alors inversé. P axe réel A image de A 45° rapport : 0,707 angle : 45° PA' = 0,707 × PA PA = 2 ; PA' = 1,41 La similitude de centre P multiplie chaque distance par 0,707 et fait tourner chaque direction de 45° : les angles sont conservés. 2. Méthode : retrouver a et b depuis deux images Connaître deux points et leurs images suffit à déterminer une similitude directe, car s(z_2) - s(z_1) = a(z_2 - z_1). On en déduit ensuite b. • a = s(z_2) - s(z_1)/z_2 - z_1, puis b = s(z_1) - a z_1. • Écrire a en exponentiel : a = e^i avec = |a| et = (a). • Contrôler avec un troisième point, qui doit être envoyé sur l'image calculée. • Retrouver le centre par = b/1 - a lorsque a 1. 3. Pièges d'interprétation d'une similitude La propriété de multiplication des distances ne s'applique qu'aux différences de deux images, jamais aux distances prises à l'origine. • Écrire |s(z)| = |a| |z| alors que b 0 : c'est faux, il faut comparer |s(z) - s(0)|. • Croire que le centre d'un cercle n'est pas envoyé sur le centre de l'image : il l'est, et son image vaut ac + b. • Confondre le rapport |a| avec l'angle (a) : le rapport est un nombre positif, l'angle un nombre signé. • Utiliser la formule de a avec z_2 = z_1 : le dénominateur serait nul, deux points distincts sont indispensables.

Dans ce chapitre

• Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e
• Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
• Opérations sur les formes exponentielles et arguments
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle
• Équation dans C : existence et nombre de solutions
• Équations du second degré à discriminant négatif
• Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités
• Transformation du plan par z az + b avec a complexe
• Rotation d'un angle par multiplication par () + i()
• Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe
• Translation et image d'un point par multiplication par un complexe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan