Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• (z - e^i)(z - e^-i) = z^2 - 2 z + 1. • Les racines e^i et e^-i sont sur le cercle unité et symétriques par rapport à l'axe réel. • Le discriminant vaut -4^2 : il est négatif dès que 0. • Les racines n-ièmes de l'unité e^2ik/n satisfont u_k^n = 1 : elles forment un polygone régulier.

Le cours

1. Une factorisation qui vient du cercle unité Deux points du cercle unité symétriques par rapport à l'axe réel ont pour affixes e^i et e^-i. Le trinôme qui les a pour racines s'obtient immédiatement, et il ne dépend que du cosinus de l'angle : • (z - e^i)(z - e^-i) = z^2 - 2 z + 1. • Les deux racines sont e^i et e^-i : module 1, parties imaginaires opposées. • Le discriminant vaut = 4^2 - 4 = -4^2. • Donc est négatif exactement quand 0 : les deux racines sont distinctes, sauf si est un multiple de (0^, 180^…), cas d'une racine double 1 ou -1. Réciproquement, un trinôme z^2 - 2\, z + 1 se ramène à cette écriture lorsque le coefficient constant vaut 1 et que le coefficient de z est compris entre -2 et 2 : il suffit de chercher l'angle correspondant, puisque le cosinus décrit tout l'intervalle [-1\,;\,1]. 2. Racines de l'unité et polygones réguliers Les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres u_k = e^2ik/n, pour k = 0, 1, , n - 1 : ils appartiennent tous au cercle unité, et deux points consécutifs sont séparés de 2/n. Ils satisfont u_k^n = e^2ik = 1, donc ils sont racines de z^n - 1 = (z - 1)(z^n-1 + + z + 1). Les racines non réelles vont par paires conjuguées e^ i, et chaque paire est racine d'un trinôme z^2 - 2\, z + 1. • z^2 - z + 1 : = 1/2, donc = /3 (60^) et les racines valent 1/2 32i. • z^2 + z + 1 = z^3 - 1/z - 1 pour z 1 : ici 2 = -1, donc = 2/3, et les racines e^ 2i/3 = -1/2 32i sont les deux racines cubiques de l'unité autres que 1. • Sur le cercle unité, deux points symétriques par rapport à l'axe réel ont des affixes conjuguées : leur somme 2 et leur produit 1 sont réels. Angle 2 Équation Racines 0^ 2 z^2 - 2z + 1 = 0 1 (double) 45^ 2 1,414 z^2 - 2z + 1 = 0 0,707 0,707i 60^ 1 z^2 - z + 1 = 0 0,5 0,866i 90^ 0 z^2 + 1 = 0 i et -i 180^ -2 z^2 + 2z + 1 = 0 -1 (double) 3. Pièges de la factorisation La factorisation est une écriture, pas une formule : elle exige des conditions précises, et les cas limites méritent un traitement séparé. • Appliquer la formule quand = 0 : les deux racines sont confondues, il n'y en a qu'une. • Chercher un angle tel que 2 vaille 3 ou -5 : c'est impossible, car le cosinus reste compris entre -1 et 1. • Appliquer la formule à un trinôme dont le coefficient constant n'est pas 1 : on divise d'abord par le coefficient principal, et la forme ne s'applique que si le terme constant obtenu vaut 1 (ce n'est pas le cas pour z^2 - z + 4). • Ne donner que e^i : la racine e^-i est distincte et symétrique de la première, sauf si est un multiple de .

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