Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• z = re^i décrit une position par une longueur et une direction : c'est le fil conducteur du chapitre. • Une multiplication par e^i est une rotation, une multiplication par a = e^i est une similitude de rapport . • z^n = w donne n solutions de même module, espacées de 2/n. • z az + b a pour point fixe b/1 - a lorsque a 1. • Contrôle systématique : module du résultat, somme et produit des racines, distances mesurées depuis le point fixe.

Le cours

1. Une seule idée : la forme exponentielle rend le calcul géométrique Tout le chapitre tient dans une phrase : écrire z = re^i revient à décrire une position par une longueur et une direction, et les opérations complexes deviennent des opérations géométriques. Multiplier par e^i est une rotation, multiplier par un réel k > 0 une homothétie de centre O et de rapport k, ajouter b une translation. Les équations dans C occupent la même place : racines n-ièmes, trinômes à discriminant négatif et factorisation z^2 - 2 z + 1 sont des problèmes de répartition d'un angle sur un cercle. • Module : longueur. Argument : direction. Produit : on additionne les directions. • z^n = w : n solutions de même module, régulièrement espacées de 2/n. • Trinôme à négatif : deux racines conjuguées. • z az + b : similitude de rapport |a|, d'angle (a), de centre b/1 - a si a 1. Besoin du technicien Outil du chapitre Résultat position d'un point z = x + iy ou z = re^i coordonnées, module, direction image par une rotation z' = e^iz ou z' = z_P + e^i(z - z_P) nouvelle position après rotation image par un mécanisme combinant rotation, homothétie et translation z' = az + b avec a = e^i rapport , angle , translation positions équidistantes sur un tour z^n = w n positions sur un cercle pivot d'un bras articulé z_P = z_A' - e^iz_A1 - e^i centre de la rotation nombre de positions possibles signe de , degré du polynôme deux, une ou n solutions points d'un cercle régulier z^2 - 2 z + 1 deux sommets symétriques déplacement constant z' = z + b translation de vecteur b Chaque ligne part d'une question posée par un système technique. 2. Méthode générale, en cinq temps Cette méthode s'applique à tous les exercices du chapitre, dans cet ordre, et chaque étape se contrôle seule. • Je place le point et je note les signes de x et y, donc le quadrant. • Je calcule le module r = x^2 + y^2 et l'angle, puis je convertis en radians. • Je choisis la règle : produits et quotients se calculent en exponentiel, les sommes en coordonnées. • Pour une transformation, j'identifie le rapport |a| et l'angle (a), puis je calcule l'image dans l'ordre : multiplier, ajouter. • Je contrôle : module du résultat, somme et produit des racines, ou distance conservée depuis le point fixe. 3. Erreurs qui coûtent un point, et parades Elles se regroupent en quatre familles, chacune avec sa parade. • Erreur d'angle : réduction oubliée modulo 2, ou degrés conservés dans l'exponentielle. Parade : tout convertir en radians, puis ramener dans ]-\;;\ ]. • Erreur de nombre de solutions : terme 2k oublié dans n = + 2k. Parade : annoncer le nombre de solutions attendu avant de calculer. • Erreur de centre : confondre l'origine, l'image de l'origine et le point fixe. Parade : chercher = b/1 - a dès que a 1. • Erreur de distance : comparer |f(z)| à |a| |z|. Parade : comparer deux distances issues du point fixe.

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