Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Un système de deux équations du premier degré se résout par substitution ou par combinaison linéaire. • Le nombre de solutions se lit sur le graphique : sécantes, parallèles ou confondues. • ad - bc = 0 signale deux droites parallèles ou confondues : aucune solution, ou une infinité. • L'équation complexe az + b = c avec a 0 équivaut à deux équations réelles indépendantes.

Le cours

1. Deux équations, deux inconnues : une intersection Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues s'écrit ax + by = e et cx + dy = f avec quatre réels a, b, c, d et deux réels e, f. Chaque équation décrit une droite du plan : chercher (x\,;\,y) revient donc à trouver le point d'intersection des deux droites. Ce réflexe graphique est précieux : il annonce immédiatement le nombre de solutions possibles avant tout calcul. Une droite a deux coefficients (a\,;\,b) : deux droites sécantes ont des coefficients non proportionnels, deux droites parallèles distinctes ont des coefficients proportionnels et des seconds membres incompatibles. • Substitution : on isole une inconnue dans une équation et on la remplace dans l'autre. • Combinaison : on multiplie chaque équation par un nombre choisi pour éliminer une inconnue. • Contrôle : on remplace la solution trouvée dans les deux équations de départ. 2. Méthode par combinaison : choisir les bons multiplicateurs La combinaison est plus rapide que la substitution dès qu'il y a des coefficients 2, 3, 4. Le principe est toujours le même : rendre deux coefficients opposés pour que l'inconnue visée disparaisse. • Éliminer y : multiplier la première équation par d et la seconde par b, puis soustraire : on obtient (ad - bc)x = de - bf. • Éliminer x : multiplier la première par c et la seconde par a, puis soustraire la première de la seconde : (ad - bc)y = af - ce. • Si ad - bc = 0, les deux droites sont parallèles ou confondues : il n'y a pas de solution unique. • Écrire d'abord ce que l'on cherche : « je cherche x », « je cherche y », avant de combiner. Situation géométrique Condition algébrique Nombre de solutions Ce que donne la combinaison droites sécantes ad - bc 0 une seule on isole une inconnue, puis l'autre droites parallèles distinctes ad - bc = 0, seconds membres non proportionnels aucune on obtient une absurdité 0 = k avec k 0 droites confondues ad - bc = 0, équations proportionnelles une infinité on obtient 0 = 0 3. Le passage aux nombres complexes Tout le chapitre repose sur une équation de la forme az + b = c où a, b et c sont complexes. En écrivant z = x + iy puis en développant, cette unique équation complexe devient exactement un système de deux équations réelles : une pour la partie réelle, une pour la partie imaginaire. Résoudre le système, c'est donc résoudre l'équation dans C. • Une seule équation complexe équivaut à deux équations réelles : l'une sur les parties réelles, l'autre sur les parties imaginaires. • Si a 0, le système admet toujours une unique solution : l'équation az = c - b se résout en isolant z. • Avec a = p + iq, le système s'écrit px - qy = Re(c - b) et qx + py = Im(c - b) : son déterminant vaut p^2 + q^2 = |a|^2, non nul dès que a 0.

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