Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• |z| = x^2 + y^2 est une longueur, donc un nombre positif ou nul. • L'argument principal est choisi dans ]-\;;\ ] et a le signe de la partie imaginaire quand celle-ci n'est pas nulle. • | z| = |z| et ( z) = -(z). • Pour un produit, les modules se multiplient ; pour une somme ou une différence, aucune formule simple n'existe.

Le cours

1. Module et argument : une longueur et une direction Le module de z = x + iy est le réel positif |z| = x^2 + y^2 : c'est la distance entre l'origine O et le point d'affixe z. L'argument est l'angle qui oriente la demi-droite issue de O vers ce point ; on a x = |z| et y = |z|. L'argument n'est jamais unique : tous les réels + 2k, avec k entier relatif (c'est-à-dire + k 360^), décrivent la même direction. On travaille donc avec l'argument principal, choisi dans l'intervalle ]-\;;\ ], c'est-à-dire entre -180^ et +180^. • |z| = x^2 + y^2, avec |z| |x| et |z| |y|. • L'argument principal est choisi dans ]-\;;\ ] et a le même signe que y lorsque y 0 (il vaut 0 ou pour un réel non nul). • | z| = |z| et l'argument de z est l'opposé de celui de z. • | z| = || |z| pour un réel non nul. 2. Méthode : quadrant, angle repère, correction Pour lire l'argument d'un nombre complexe, on dessine d'abord le point, on repère son quadrant, puis on calcule un seul angle, et enfin on corrige selon le quadrant. On travaille un quadrant à la fois. • x > 0 et y > 0 : premier quadrant, = (y/x). • x 0 : deuxième quadrant, = 180^ - (y/|x|). • x • x > 0 et y • Conversion en radians : _rad = _deg /180. Nombre complexe Module Argument principal Situation dans le plan 3 - 4i 5 -53,13^ -0,927\ rad quatrième quadrant -4 + 3i 5 143,13^ 2,498\ rad deuxième quadrant -2 - 3i 13 3,606 -123,69^ -2,159\ rad troisième quadrant -1/2 + 32i 1 120^ = 2/3\ rad valeur remarquable 3. Ce qui ne se calcule pas comme un module Modules et arguments obéissent à des règles très différentes. Le module est une longueur et se calcule coordonnée par coordonnée ; l'argument est un angle et se lit sur un cercle. Surtout, on ne peut pas calculer le module d'une somme ou d'une différence par une simple formule : la résultante de deux vecteurs dépend de l'angle qui les sépare. • |z_1 + z_2| n'est pas égal à |z_1| + |z_2|, et ||z_1| - |z_2|| |z_1 - z_2|. • L'argument d'un produit s'obtient par une somme d'arguments, mais pas celui d'une somme. • ( z) = -(z) : le conjugué ne change pas la longueur, il retourne la direction.

Dans ce chapitre

• Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e
• Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
• Opérations sur les formes exponentielles et arguments
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle
• Équation dans C : existence et nombre de solutions
• Équations du second degré à discriminant négatif
• Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités
• Transformation du plan par z az + b avec a complexe
• Rotation d'un angle par multiplication par () + i()
• Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe
• Translation et image d'un point par multiplication par un complexe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan