Équation dans C : existence et nombre de solutions

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une équation du premier degré dans C a une unique solution si le coefficient de z est non nul. • Un polynôme de degré n possède n racines comptées avec multiplicité. • Coefficients réels : les racines non réelles vont par paires conjuguées, donc par deux. • Une équation |z - z_A| = R avec R > 0 décrit un cercle : elle admet une infinité de solutions.

Le cours

1. Existence et nombre de solutions Une équation du premier degré dans C admet toujours une solution si le coefficient de l'inconnue est non nul. Pour un polynôme de degré n à coefficients complexes, un théorème admis (théorème de d'Alembert-Gauss) garantit l'existence d'au moins une racine, et l'on compte au total n racines en tenant compte des multiplicités. Quand les coefficients sont réels, les racines non réelles vont par paires conjuguées : z est solution si et seulement si z l'est aussi. Une équation du second degré à coefficients réels a donc soit deux racines réelles, soit deux racines conjuguées, mais jamais une seule racine non réelle. • az + b = 0 avec a 0 : une unique solution z = -b/a. • Degré n : n racines comptées avec multiplicité, donc moins de n solutions distinctes si une racine est répétée. • Coefficients réels : les racines non réelles sont groupées par paires conjuguées. • Une équation qui met en jeu |z| n'est pas polynomiale : elle décrit souvent un ensemble de points (cercle, médiatrice), donc une infinité de solutions, mais pas toujours : |z| = 0 n'a que z = 0 et |z| = -1 n'en a aucune. 2. Méthode : écrire z = x + iy et séparer Pour compter les solutions d'une équation dans C, on écrit z = x + iy avec x et y réels, on développe, puis on écrit deux équations : une partie réelle et une partie imaginaire. Le nombre de solutions de l'équation complexe est exactement le nombre de couples (x\,;\,y) solutions du système réel obtenu. Ce pont entre équation complexe et système réel est la clef de toute la suite du chapitre : il permet de compter avant de calculer, et de savoir à quoi s'attendre. • Temps 1 : remplacer chaque nombre complexe par son couple de coordonnées. • Temps 2 : développer en utilisant i^2 = -1. • Temps 3 : écrire « partie réelle = 0 » et « partie imaginaire = 0 » comme deux équations distinctes. • Temps 4 : résoudre le système, puis contrôler en remplaçant x et y dans l'équation de départ. Équation Nombre de solutions Nature des solutions az + b = c, a 0 une un seul nombre complexe, z = c - b/a az^2 + bz + c = 0 avec > 0 deux deux racines réelles distinctes az^2 + bz + c = 0 avec = 0 une racine double, réelle az^2 + bz + c = 0 avec négatif deux deux racines conjuguées |z - z_A| = R une infinité tous les points du cercle z^n = w, w 0 n régulièrement espacées sur un cercle 3. Pièges de comptage des solutions Compter les solutions d'une équation demande de lire la condition imposée, avant de simplifier. • Oublier la valeur interdite d'un quotient : dans z^2 + 2/z - 1, il faut z 1, et une solution trouvée égale à 1 serait à rejeter. • Diviser les deux membres par une expression qui peut s'annuler : dans z^2 = 3z, diviser par z fait perdre la solution z = 0. • Dire « pas de solution » parce que le discriminant est négatif : il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes. • Compter une infinité de solutions pour z^n = w : il y en a exactement n, car il s'agit d'un polynôme.

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