Translation et image d'un point par multiplication par un complexe

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• La translation de vecteur b s'écrit t(z) = z + b, et t(0) = b. • Elle correspond au cas a = 1 de z az + b : rapport 1, angle 0. • Avec a 1, z az + b n'est jamais une translation : elle a un point fixe, b/1 - a. • Translater puis multiplier donne az + ab, multiplier puis translater donne az + b : l'ordre compte.

Le cours

1. La translation, un déplacement qui ne change rien aux formes La translation de vecteur b est l'application t définie par t(z) = z + b. L'image d'un point d'affixe z_A est le point d'affixe z_A' = z_A + b : la distance AA' est constante et égale à |b|, et sa direction est donnée par (b). Une translation conserve les longueurs, les angles et les formes. Dans la famille z az + b, la translation correspond au cas a = 1 : le rapport vaut 1 et l'angle vaut 0. Réciproquement, avec a 1, la transformation z az + b n'est jamais une translation : elle a un point fixe, alors qu'une translation de vecteur non nul n'en a aucun. Même avec |a| = 1, par exemple a = i, on obtient une rotation et non une translation. • t(z) = z + b : le vecteur de translation est le nombre complexe b. • t(t(z)) = z + 2b : deux translations successives donnent une translation de vecteur 2b. • a = 1 : rapport 1, angle 0, donc transformation de type translation si b 0. • a 1 : la transformation z az + b est une similitude de point fixe b/1 - a. axe réel axe O A A' b OA OA' b = 2 + i : AA' = OA' - OA, longueur |b| = 2,24, direction 26,57° Le vecteur AA' est le même pour tous les points : c'est b. 2. Translater puis multiplier : l'ordre compte Dans une machine, on peut translater la pièce puis la tourner et l'agrandir, ou faire l'inverse. Les deux étapes se combinent en une seule expression, mais l'ordre ne peut pas être inversé. • Translater de b puis multiplier par a : z a(z + b) = az + ab. • Multiplier par a puis translater de b : z az + b. • Les deux résultats coïncident seulement si ab = b, c'est-à-dire si b = 0 ou si a = 1. • Pour translater une figure, on translate chacun de ses sommets : l'image d'un segment est un segment parallèle et de même longueur. 3. Pièges de la translation Le nombre complexe b joue deux rôles qu'il ne faut pas confondre : il est un vecteur dans la transformation, et il peut aussi être l'image d'un point. • Prendre z bz pour une translation : c'est une multiplication, donc une similitude de rapport |b|. • Inverser l'ordre des opérations : translater de b puis multiplier par a ajoute ab, et non b, au produit az. • Dire que la translation conserve les distances à l'origine : |z + b| diffère de |z| en général ; elle conserve les distances entre deux points, car (z_2 + b) - (z_1 + b) = z_2 - z_1. • Confondre le vecteur b avec l'image de l'origine : dans z az + b, l'image de l'origine est bien b, mais le point fixe est b/1 - a.

Dans ce chapitre

• Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e
• Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
• Opérations sur les formes exponentielles et arguments
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle
• Équation dans C : existence et nombre de solutions
• Équations du second degré à discriminant négatif
• Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités
• Transformation du plan par z az + b avec a complexe
• Rotation d'un angle par multiplication par () + i()
• Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe
• Translation et image d'un point par multiplication par un complexe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan