Opérations sur les formes exponentielles et arguments

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Produit : modules multipliés, arguments additionnés. Quotient : modules divisés, arguments soustraits. • Puissance : (re^i)^n = r^n e^in, le module est élevé à la puissance n et l'argument multiplié par n. • Un argument est défini à 2 près : on le ramène dans ]-\;;\ ] en ajoutant ou en retirant des tours. • L'addition et la soustraction n'ont aucune règle simple sur les modules et les arguments.

Le cours

1. Chaque opération a sa règle sur les arguments En forme exponentielle, une opération complexe se lit directement sur le couple (module, argument). Un produit multiplie les modules et additionne les arguments ; un quotient les divise et les soustrait ; une puissance n-ième élève le module à la puissance n et multiplie l'argument par n. Un argument n'étant défini qu'à 2 près (un tour, soit 360^), tout résultat angulaire doit être ramené dans l'intervalle ]-\;;\ ] avant d'être annoncé. • Produit : u = re^i et u' = r'e^i' donnent uu' = rr'e^i( + '). • Quotient : u/u' = r/r'e^i( - '). • Puissance : u^n = r^n e^in, et en particulier u^-1 = 1/re^-i. • Conjugué : u = re^-i, donc ( u) = -(u). 2. Méthode : calculer en exponentiel, contrôler en algébrique On n'écrit jamais un produit sous forme algébrique si les deux nombres sont donnés sous forme exponentielle : la règle des arguments est plus rapide et moins sensible aux erreurs de signe. Une fois le résultat obtenu, on revient à la forme algébrique pour le contrôler. • Temps 1 : multiplier les modules, additionner les arguments. • Temps 2 : réduire la somme d'arguments modulo 2, en ajoutant ou en retirant des tours, pour l'écrire dans ]-\;;\ ]. • Temps 3 : revenir à la forme algébrique avec r et r. • Contrôle : vérifier que le module du résultat vaut le produit, ou le quotient, des modules, et que les signes de la forme algébrique correspondent au quadrant de l'argument annoncé. Opération Forme exponentielle Module Argument u u' rr'e^i(+') r r' + ' u u' r/r'e^i(-') r r' - ' u^n r^n e^in r^n n u + u' aucune règle simple compris entre |r-r'| et r+r' aucune règle simple 3. Pièges de calcul sur les arguments Les erreurs se concentrent surtout sur l'angle : le module, lui, suit une règle simple. • Annoncer 5/6 + 4/3 = 13/6 comme argument principal : il faut retirer un tour et donner /6. • Mélanger degrés et radians dans un même calcul : on convertit tout dans la même unité, jamais l'un avec l'autre. • Additionner les arguments en croyant additionner les nombres : 2e^i/4 + 3e^-i/6 ne vaut pas 5e^i/12. • Oublier le signe dans 1/u : l'inverse a bien pour argument l'opposé de celui de u.

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