Rotation d'un angle par multiplication par () + i()

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Rotation de centre O et d'angle : z' = e^iz = ( + i)z. • Les angles de rotations successives s'additionnent, et n rotations d'angle donnent e^inz. • Rotation de centre P : z' = z_P + e^i(z - z_P). • Pivot retrouvé depuis A, A' et : z_P = z_A' - e^iz_A1 - e^i.

Le cours

1. La rotation est une multiplication par une exponentielle Faire tourner un point de centre O d'un angle dans le sens direct revient à multiplier son affixe par le nombre complexe + i = e^i. Comme ce nombre a pour module 1, la distance à l'origine est conservée : seule la direction change. En coordonnées, la rotation s'écrit x' = x - y et y' = x + y. Cette formule permet de contrôler un résultat obtenu en forme exponentielle. • R_(z) = e^iz, avec e^i = + i. • Deux rotations successives : R_ R_ = R_ + , les angles s'additionnent. • n rotations d'angle : z' = e^inz, et le point revient sur lui-même si n est un multiple de 2, soit de 360^. • Le sens direct, celui du sens trigonométrique, correspond à un angle positif. 2. Rotation de centre autre que l'origine Une came, un bras de vérin ou un plateau tourne autour d'un pivot P qui n'est pas l'origine. On ramène alors le problème à une rotation de centre O en soustrayant l'affixe du pivot, puis on la rajoute : • Image d'un point A : z_A' = z_P + e^i(z_A - z_P). • Pour = 90^, cela devient z_A' = z_P + i(z_A - z_P) : un quart de tour autour du pivot. • Retrouver le pivot à partir d'un point et de son image : z_P = z_A' - e^iz_A1 - e^i, valable si n'est pas un multiple de 360^. • Construction géométrique : le pivot est à égale distance de A et de A', et l'angle APA' vaut . Angle Multiplicateur e^i Effet sur les coordonnées 0^ 1 rien ne bouge 90^ i (x\,;\,y) (-y\,;\,x) 180^ -1 (x\,;\,y) (-x\,;\,-y) 270^ -i (x\,;\,y) (y\,;\,-x) -90^ -i quart de tour dans l'autre sens 3. Pièges de signe et de centre Une rotation se trompe très vite : une erreur sur le signe de donne le symétrique de la bonne image par rapport à la droite qui joint le centre au point de départ. • Oublier le terme -z_P dans z_A' = z_P + e^i(z_A - z_P) : on obtient l'image par une rotation de centre O. • Inverser le signe de : une rotation de 120^ dans le sens direct n'est pas une rotation de 120^ dans l'autre sens. • Croire qu'une rotation change le module du nombre : |e^iz| = |e^i| |z| = |z|, car |e^i| = 1. • Appliquer la formule du pivot avec = 0^ : le dénominateur 1 - e^i est alors nul, et aucune rotation n'a pu relier A à A'.

Dans ce chapitre

• Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e
• Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
• Opérations sur les formes exponentielles et arguments
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle
• Équation dans C : existence et nombre de solutions
• Équations du second degré à discriminant négatif
• Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités
• Transformation du plan par z az + b avec a complexe
• Rotation d'un angle par multiplication par () + i()
• Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe
• Translation et image d'un point par multiplication par un complexe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan