Équations du second degré à discriminant négatif

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Un discriminant négatif donne deux racines conjuguées : z_1,2 = -b i-2a. • Leur partie réelle est -b/2a : elle ne demande aucun calcul de racine carrée. • Somme et produit : z_1 + z_2 = -b/a et z_1 z_2 = c/a. • Avec 0 et |z_1| = |z_2| = c/a.

Le cours

1. Deux racines conjuguées quand est négatif On résout dans C le trinôme az^2 + bz + c = 0 avec a, b, c réels et a 0. Le discriminant vaut = b^2 - 4ac. Lorsque est négatif, le trinôme ne s'annule pour aucun réel : ses deux racines sont donc non réelles, et conjuguées l'une de l'autre. On pose k = - > 0. Comme (ik)^2 = i^2 (-) = , le nombre ik joue le rôle de « racine » de ; on n'écrit jamais quand • z_1 = -b + i-2a et z_2 = -b - i-2a = z_1. • Re(z_1) = Re(z_2) = -b/2a : les deux racines sont sur une même verticale. • z_1 + z_2 = -b/a et z_1 z_2 = c/a. • Comme b^2 0, le quotient c/a est positif et |z_1|^2 = z_1z_1 = c/a : les deux racines sont sur le cercle de centre O et de rayon c/a. 2. Méthode : compter, puis placer sur le plan Le calcul des racines se fait en quatre temps, et il se termine par un placement : la partie réelle est connue sans calcul, seule la partie imaginaire demande une racine carrée. • Temps 1 : calculer = b^2 - 4ac et vérifier son signe. • Temps 2 : poser k = -, qui est un réel positif. • Temps 3 : écrire z_1 = -b/2a + k/2ai et z_2 = z_1. • Temps 4 : contrôler avec la somme et le produit des racines. Signe de Racines dans C Disposition dans le plan > 0 deux racines réelles distinctes deux points de l'axe réel = 0 une racine double réelle un point de l'axe réel négatif deux racines conjuguées verticale, symétriques par rapport à l'axe réel négatif (donc c/a > 0) modules égaux à c/a aussi sur un cercle centré sur l'origine 3. Pièges du discriminant négatif Ces pièges ne portent jamais sur , qui se calcule comme en Première, mais sur son exploitation. • Écrire avec • Diviser par 2a sans regarder son signe : avec a négatif, la partie imaginaire change de signe, mais l'ensemble des deux racines est inchangé. • Dire que l'équation n'a pas de solution : elle en a deux, non réelles. • Oublier le i : écrire -b -2a donne deux réels qui ne vérifient pas l'équation.

Dans ce chapitre

• Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e
• Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
• Opérations sur les formes exponentielles et arguments
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle
• Équation dans C : existence et nombre de solutions
• Équations du second degré à discriminant négatif
• Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités
• Transformation du plan par z az + b avec a complexe
• Rotation d'un angle par multiplication par () + i()
• Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe
• Translation et image d'un point par multiplication par un complexe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan