Transformation du plan par z az + b avec a complexe

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• f(z) = az + b avec a 0 est une similitude directe : rapport |a|, angle (a). • Point fixe si a 1 : = b/1 - a, et f(z) = a(z - ) + . • a = 1 donne une translation de vecteur b, qui n'a pas de point fixe si b 0. • L'image d'un point se calcule toujours dans l'ordre : multiplier par a, puis ajouter b.

Le cours

1. Une formule unique pour trois mouvements L'application f définie sur le plan complexe par f(z) = az + b, avec a 0 et b complexes, est une similitude directe. En écrivant a = e^i, on lit immédiatement ce qu'elle fait : elle multiplie toutes les distances par , elle fait tourner toutes les directions de , puis elle translate le résultat de b. Lorsque a 1, cette transformation possède un unique point fixe , qui joue le rôle de centre : on peut écrire f(z) = a(z - ) + , et f enchaîne alors la rotation d'angle et l'homothétie de rapport , toutes deux de centre . • Rapport de similitude : |a| = . Angle de rotation : = (a). • Point fixe, si a 1 : = b/1 - a, qui ne dépend pas du point considéré. • Cas a = 1 : f est la translation de vecteur b, sans point fixe si b 0. • Cas b = 0 : la rotation et la dilatation sont centrées sur l'origine O. 2. Méthode : appliquer, puis chercher le centre Pour l'image d'un point, on suit toujours le même ordre : multiplier l'affixe par a, puis ajouter b. Pour le centre, on écrit l'équation du point fixe et on la résout comme une équation du premier degré. • Temps 1 : identifier |a| et (a) pour annoncer le rapport et l'angle de la transformation. • Temps 2 : calculer l'image d'un point par f(z) = az + b. • Temps 3 : chercher le point fixe par = a + b, donc (1 - a) = b. • Contrôle : vérifier que le module de f(z) - f() vaut bien |a| fois le module de z - . Valeurs de a et b Transformation Point fixe a = 1, b = 0 identité tous les points a = 1, b 0 translation de vecteur b aucun a réel positif, b = 0 homothétie de rapport a centrée sur O O |a| = 1, b = 0 rotation de (a) centrée sur O O a 1, cas général similitude de centre = b/1-a, de rapport |a| et d'angle (a) 3. Pièges d'interprétation Le calcul de l'image d'un point est simple ; l'erreur se glisse dans la lecture géométrique du résultat. • Ajouter b avant de multiplier par a : on calcule alors a(z + b) = az + ab, qui diffère de az + b sauf si a = 1 ou b = 0. • Considérer que le centre est l'origine dès que b 0 : le centre est = b/1-a. • Confondre le point fixe et l'image de l'origine : f(0) = b n'est pas en général. • Comparer |f(z)| et |a| |z| alors qu'il faut comparer |f(z) - f()| et |a| |z - |.

Dans ce chapitre

• Forme algébrique et conjugué d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Module et argument d'un nombre complexe de classe de 1ère
• Résolution d'un système de deux équations du premier degré de classe de 3e
• Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle
• Opérations sur les formes exponentielles et arguments
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle
• Équation dans C : existence et nombre de solutions
• Équations du second degré à discriminant négatif
• Factorisation de z^2 - 2()z + 1 et racines unités
• Transformation du plan par z az + b avec a complexe
• Rotation d'un angle par multiplication par () + i()
• Similitude directe et image d'un point dans le plan complexe
• Translation et image d'un point par multiplication par un complexe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes appliqués aux transformations du plan