Racines n-ièmes d'un nombre complexe par la forme exponentielle

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• L'équation z^n = w, avec w = e^i 0, possède exactement n solutions distinctes. • Elles s'écrivent z_k = [n]\,e^i( + 2k)/n, pour k de 0 à n - 1. • Tous les modules valent [n] : les solutions sont sur un même cercle, séparées de 2/n. • Pour w = 1, on obtient les racines n-ièmes de l'unité e^2ik/n, sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Le cours

1. Chercher les racines d'un nombre, c'est partager un angle Résoudre dans C l'équation z^n = w revient à demander quels nombres complexes ont une puissance n-ième égale à w. Si w 0 s'écrit w = e^i, on cherche z = re^i tel que r^n = et n = + 2k, avec k entier relatif. Il en résulte que l'équation possède exactement n solutions distinctes, de même module [n], dont les arguments se suivent de 2/n, soit 360^/n. Sur un cercle, elles forment un polygone régulier. • z_k = [n]\,e^i( + 2k)/n pour k = 0\,;\, 1\,;\, \,;\, n - 1. • Les n solutions ont toutes le même module : elles sont sur un même cercle centré sur l'origine. • Deux solutions consécutives sont séparées par un angle de 2/n. • Cas particulier w = 1 : les racines n-ièmes de l'unité e^2ik/n sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité. z⁴ = -16 : quatre solutions sur le cercle de rayon 2 -16 w z1 z2 z3 z4 90° 90° z1 = 1,414 + 1,414i (45°) z2 = -1,414 + 1,414i (135°) z3 = -1,414 - 1,414i (225°) z4 = 1,414 - 1,414i (315°) 2. Méthode : un seul angle à partager On ne calcule pas n arguments : on en calcule un seul, puis on ajoute 2/n à chaque fois. Le nombre de solutions est connu avant le calcul, ce qui permet de contrôler la réponse. • Temps 1 : écrire w sous forme exponentielle, avec son module et son argument . • Temps 2 : calculer [n] et l'angle /n. • Temps 3 : construire les n solutions en ajoutant successivement 2/n. • Temps 4 : vérifier que les solutions sont bien distinctes et régulièrement espacées sur le cercle. • Contrôle : élever la première solution à la puissance n ; on doit retrouver le module et l'argument , à un tour près. 3. Pièges sur le nombre de racines L'erreur la plus grave consiste à oublier le terme 2k dans n = + 2k, ce qui ne laisse qu'une seule solution au lieu de n. • Écrire z = [n]e^i/n et conclure qu'il n'y a qu'une racine : il y en a exactement n. • Diviser par n puis ajouter 2k au lieu de 2k/n : tous les angles obtenus désignent le même point, et l'on retombe sur une seule solution. • Appliquer la formule à w = 0 : l'équation z^n = 0 n'a qu'une seule solution, z = 0. • Se tromper de module : les solutions de z^2 = 4i ont pour module 4 = 2, et non 4^2 = 16.

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