Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• z = re^i, avec r = |z| et en radians : la même information que x + iy, mais rangée en longueur et direction. • e^i = + i et |e^i| = 1 pour tout réel . • Méthode en quatre temps : module, quadrant, angle repère corrigé, conversion en radians. • Contrôle systématique : r doit redonner x et r doit redonner y.

Le cours

1. La forme exponentielle range un point en deux nombres La forme algébrique z = x + iy donne deux coordonnées ; la forme exponentielle z = re^i donne un module et un argument. C'est la même information, mais rangée dans l'ordre qui compte pour la géométrie : une longueur et une direction. En pratique, la forme exponentielle n'est pas un simple raccourci d'écriture : c'est ce qui permet de calculer un produit en une seule ligne, et surtout de reconnaître d'un coup d'œil une rotation, puisque |e^i| = 1. • z = re^i avec r = |z| et = (z), l'angle étant exprimé en radians. • e^i = + i : cette égalité est la définition de la notation. • |e^i| = 1 pour tout réel : une exponentielle pure ne dilate jamais. • e^i = -1, e^i/2 = i et e^2i = 1. 2. Méthode en quatre temps, toujours dans le même ordre On commence par le module : il sert ensuite à contrôler l'angle, puisque = x/r et = y/r. • Temps 1 : r = x^2 + y^2. • Temps 2 : placer le point et écrire le couple de signes de x et y. • Temps 3 : calculer un angle repère avec ou une valeur remarquable, puis corriger selon le quadrant. • Temps 4 : convertir en radians avec _rad = _deg /180, puis écrire z = re^i. • Contrôle : vérifier que r redonne x et que r redonne y. Forme algébrique Module Argument Forme exponentielle 3 - 4i 5 -53,13^ 5e^-0,927i -4 + 3i 5 143,13^ 5e^2,498i 2i 2 90^ 2e^i/2 -1 + i 2 1,414 135^ 2e^3i/4 1 - i 2 1,414 -45^ 2e^-i/4 3. Pièges du passage à l'exponentielle Les erreurs les plus fréquentes ne portent pas sur le module, mais sur l'angle et sur les unités. • Écrire un angle en degrés dans l'exponentielle : e^i90 désignerait un angle de 90 radians, et non de 90^ : il faut écrire e^i/2. • Oublier le module : e^i seul décrit un point du cercle unité, alors que z est ailleurs. • Lire l'argument dans le mauvais quadrant : avec z = -2 - 3i, l'argument vaut -123,69^ et non +56,31^. • Donner un argument non principal : 306,87^ décrit le même point que -53,13^, mais l'argument principal reste -53,13^.

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