Primitives des fonctions usuelles de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• F est une primitive de f sur I si et seulement si F'(t) = f(t) sur I. • Toutes les primitives de f sur I s'écrivent F_0(t) + C, avec C réel. • Une primitive de t^n (n entier naturel) est t^n+1n+1 : on augmente la puissance de 1 et on divise par le nombre obtenu. • Primitive d'un débit = volume cumulé ; primitive d'une vitesse = position ; primitive d'un écart = correction accumulée. • Une primitive se contrôle toujours en dérivant.

Le cours

1. La primitive est l'opération inverse de la dérivée La dérivée d'une consigne donne sa variation locale ; la primitive relit cette consigne dans l'autre sens et redonne une grandeur cumulée. Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I lorsque : F'(t) = f(t) pour tout \ t I Toutes les primitives de f sur I s'obtiennent à partir d'une seule d'entre elles en lui ajoutant une constante : F(t) = F_0(t) + C, où C est un réel. • Primitive d'un débit de pompe q(t) : le volume cumulé V(t), en litres. C'est ce que lit un compteur volumétrique. • Primitive d'une vitesse v(t) : la position x(t) de la tige d'un vérin, en millimètres. • Primitive d'un écart de suivi e(t) d'un système asservi : la correction accumulée du terme intégral, en volt-secondes. 2. Les primitives des formes que l'on rencontre sur une consigne Une primitive s'obtient en augmentant la puissance de 1 puis en divisant par la nouvelle puissance. Aucune formule générale n'est nécessaire : on suit la ligne du tableau correspondant, puis on vérifie par dérivation. Fonction f(t) Une primitive F(t) Ce qu'il faut retenir 1 t une primitive d'une constante est une fonction affine t t^22 diviser par 2 t^2 t^33 diviser par 3 t^4 t^55 diviser par 5 1t^2 -1/t valable pour t 0 t t la dérivée de t est t t - t attention au signe a\,t + b a/2\,t^2 + b\,t on primitive terme à terme Les primitives de 1/t et des fonctions exponentielles ne sont pas rappelées ici : elles relèvent des chapitres de Terminale consacrés au logarithme et à l'exponentielle, et ne sont pas nécessaires pour les aires sous une consigne polynomiale. 3. Méthode : primitiver une consigne en quatre gestes • Développer si la consigne est un produit ou un carré : un produit de deux fonctions ne se primitive pas facteur par facteur. • Primitiver terme à terme en augmentant chaque puissance de 1 et en divisant par le nombre obtenu, en conservant les facteurs constants. • Ajouter la constante C : elle ne gêne jamais, et c'est elle qui permet de respecter une condition initiale. • Vérifier par dérivation : la dérivée de la primitive obtenue doit reproduire exactement la consigne de départ, terme par terme. Exemple de gabarit : pour e(t) = -6\,t^2 + 9\,t - 2, on écrit E(t) = -2\,t^3 + 9/2\,t^2 - 2\,t + C et l'on contrôle que E'(t) = -6\,t^2 + 9\,t - 2. 4. Les pièges de l'opération primitive Piège 1 : primitiver (2t+1)^3 en (2t+1)^44. En dérivant, on obtient 2(2t+1)^3 : il manque le facteur 1/2 dû au coefficient 2 de t. Une primitive correcte est (2t+1)^48 ; on peut aussi développer avant de primitiver. Piège 2 : oublier la constante, puis s'étonner qu'une intégrale dépende du choix de primitive. En réalité F(b) - F(a) ne dépend pas de C : la constante s'annule toujours. Piège 3 : primitiver une valeur numérique. On primitive une fonction du temps, pas une mesure ponctuelle. 5. Trois services que rend une primitive sur une installation Une primitive n'est pas un exercice de cours isolé : c'est la pièce qui relie une consigne instantanée à une information cumulative, et cette information est celle que les automates savent exploiter. Besoin de l'installation Ce que l'on intègre Information obtenue suivre un niveau de réservoir débit d'alimentation q(t) volume cumulé, donc niveau atteint reconstituer un débit variation mesurée q'(t) du débit débit q(t), connu à une constante près volume pompé à débit constant débit constant q = 2\ L/min V(t) = 2t litres après t minutes Le troisième cas est le plus simple : une primitive d'une constante k est la fonction linéaire t k\,t. Un débit constant de 2\ L/min fournit donc 2t litres après t minutes, soit 30\ L en un quart d'heure : on choisit la primitive nulle à l'instant de démarrage, et le volume se lit « depuis le début du cycle ». Attention toutefois : retrouver une consigne à partir de sa dérivée laisse une constante indéterminée. Un point d'étalonnage suffit à la fixer, et il est toujours fourni dans l'énoncé sous la forme d'une valeur en un instant.

Dans ce chapitre