Calcul d'une intégrale par changement de variable

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• _a^b f((t))\,'(t)\,dt = _(a)^(b) f(u)\,du. • Le changement de variable n'est licite que si le facteur '(t) est présent dans l'intégrale, à une constante près. • Les bornes se traduisent en évaluant aux extrémités de l'intervalle. • Le facteur issu de la substitution reste dans l'intégrale : il ne disparaît jamais. • Un contrôle par calcul direct dans la variable d'origine valide le résultat.

Le cours

1. Le changement de variable appliqué à une intégrale Soit une fonction dérivable sur [a ; b], de dérivée continue. Si f est continue sur l'intervalle parcouru par (t), alors : _a^b f\!((t))\,'(t)\,dt = _(a)^(b) f(u)\,du Pour appliquer la formule, il faut reconnaître dans l'intégrale à calculer le produit f\!((t))'(t), éventuellement à un facteur constant près. Si '(t) n'est pas constant et ne figure pas dans l'intégrale, la formule ne s'applique pas. Sur une consigne technique, la situation type est une puissance d'une expression affine at+b : alors '(t) = a est une constante, que l'on fait toujours apparaître en multipliant et en divisant par a. 2. Cas d'école : une consigne puissance d'une expression affine Soit une consigne de débit q(t) = (2t+1)^2, en L/min, sur [0 ; 2\ min]. On choisit u = 2t+1, d'où du = 2\,dt et donc dt = du2. Les bornes deviennent u = 1 pour t = 0 et u = 5 pour t = 2 : V = _0^2 (2t+1)^2\,dt = 1/2_1^5 u^2\,du = 1/2[u^33]_1^5 = 1/6(125-1) = 124/6 20,67\ L 0 1 2 1 3 5 10 20 30 côté t : q(t) = (2t+1)² côté u : q = u² t = 0 donne u = 1 t = 2 donne u = 5 débit en L/min du = 2 dt Le schéma met en correspondance les deux descriptions : à gauche la consigne en fonction du temps sur [0 ; 2], à droite la fonction u u^2 sur [1 ; 5]. Les bornes se correspondent par les flèches. L'intervalle en u est deux fois plus large, donc l'aire de droite est le double de celle de gauche : c'est exactement ce que compense le facteur 1/2 issu de du = 2\,dt. 3. Méthode : cinq lignes pour un changement de variable • Choisir : on prend de préférence l'expression affine qui apparaît à la puissance ou au facteur dans la consigne. • Vérifier la présence du facteur : la formule ne s'applique que si '(t) figure dans l'intégrale, à une constante multiplicative près. • Écrire du = '(t)\,dt, avec son signe, puis en déduire dt ou du selon le membre de l'égalité où l'on travaille. • Traduire les bornes en évaluant aux deux extrémités de l'intervalle. • Calculer dans la nouvelle variable, puis contrôler le résultat par un calcul direct dans la variable d'origine. Sur le cas précédent, le contrôle est immédiat : en développant (2t+1)^2 = 4t^2+4t+1, la primitive 4/3t^3+2t^2+t évaluée entre 0 et 2 donne 62/3 = 124/6 20,67, le même nombre. 4. Ce qui invalide un changement de variable Piège 1 : oublier le facteur et écrire _1^5 u^2\,du = 41,33. Cette valeur est le double de la bonne : le coefficient 2 de l'expression affine a été perdu en route. Piège 2 : conserver les bornes en temps. Sur [2 ; 5], la variable u = t-1 ne va pas de 2 à 5 mais de 1 à 4 : l'aire obtenue correspond à une autre durée. Piège 3 : oublier le signe quand est décroissante. Avec u = 3-t, on a du = -dt : _0^2 (3-t)^2\,dt = -_3^1 u^2\,du = _1^3 u^2\,du = 26/3. Oublier le signe moins donnerait -26/3, résultat négatif impossible pour une fonction positive. 5. Lien avec les primitives de la forme u'u^n Le changement de variable affine retrouve une règle du cours sur les fonctions composées : si u est dérivable, une primitive de u'u^n est u^n+1n+1. Pour q(t) = (2t+1)^2, on écrit q(t) = 1/2 2\,(2t+1)^2, d'où la primitive Q(t) = (2t+1)^36 et : _0^2 (2t+1)^2\,dt = 5^3-1^36 = 124/6 Les deux méthodes donnent le même nombre : le facteur 1/2 du changement de variable est exactement celui qui compense la dérivée 2 de 2t+1. Contrôle de sens : si la fonction intégrée est positive et si a < b, le résultat doit être positif. Un résultat négatif signale des bornes traduites dans le désordre ou un signe de du oublié.

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