Propriétés de l'intégrale : positivité, linéarité et bornes

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• f 0 sur [a ; b] implique _a^b f(t)\,dt 0. • Linéarité : _a^b ( f + g)\,dt = I_f + I_g. • Additivité : _a^c = _a^b + _b^c, l'aire de deux phases s'ajoute. • Bornes inversées : _b^a = -_a^b. • Ces propriétés portent sur des sommes et des constantes, jamais sur un produit de fonctions.

Le cours

1. Quatre propriétés qui s'utilisent sans calcul L'intégrale d'une consigne est additive et linéaire : ces deux propriétés évitent la plupart des développements et permettent de raisonner sur des grandeurs composées. f 0 \ sur \ [a ; b] _a^b f(t)\,dt 0 _a^b (\,f + \,g)\,dt = _a^b f(t)\,dt + _a^b g(t)\,dt _a^b f(t)\,dt + _b^c f(t)\,dt = _a^c f(t)\,dt _b^a f(t)\,dt = -_a^b f(t)\,dt Linéarité, relation de Chasles et inversion des bornes valent pour toute fonction continue, quel que soit son signe. Seule la positivité demande une hypothèse : f 0 sur [a ; b], avec a b. 2. Lecture technique de chaque propriété Propriété Énoncé Ce qu'elle signifie sur une installation Positivité f 0 I 0 un débit qui reste positif livre un volume positif Linéarité ( f+ g) = I_f + I_g deux pompes raccordées : les volumes s'additionnent Additivité _a^c = _a^b + _b^c un cycle de deux phases a un volume somme des phases Bornes inversées _b^a = -_a^b une intégrale écrite de la fin vers le début du cycle change de signe, sans qu'il y ait reflux La linéarité est la propriété la plus utile en pratique : un système dont la consigne est une somme de contributions se traite contribution par contribution, sans jamais devoir développer la somme elle-même. 3. Méthode : exploiter la linéarité avant tout développement • Découper la consigne en termes simples : q(t) = (12 + 3\,t) + (5 - 4\,t). • Calculer chaque intégrale séparément, avec son unité et son signe. • Combiner les résultats : les termes constants et les termes en t peuvent s'annuler partiellement, ce qui est un excellent contrôle. • Vérifier la positivité : si le résultat d'un volume net est négatif alors qu'aucune phase de reflux n'a eu lieu, c'est qu'une erreur de signe est probable. Exemple de contrôle : _0^6 (5+t)\,dt = 48 et _0^6 (4-t)\,dt = 6 donnent 54\ L pour la consigne totale q(t) = 9, constante sur tout l'intervalle : c'est cohérent. 4. Ce que ces propriétés ne permettent pas Erreur 1 : appliquer la linéarité à une intégrale de valeur absolue ou d'un produit : f\,g f g. Seules les sommes et les constantes sortent de l'intégrale. Erreur 2 : oublier que _b^a est l'opposé de _a^b, et conclure à un volume négatif alors que l'ordre des bornes était simplement inversé dans l'énoncé. Erreur 3 : sommer des intégrales calculées avec des unités différentes. Il faut d'abord ramener toutes les durées à la même unité. Erreur 4 : additionner des intégrales sur des intervalles qui ne se raccordent pas. La relation de Chasles _a^b + _b^c = _a^c exige que la borne d'arrivée de la première soit la borne de départ de la seconde. Erreur 5 : lire la positivité à l'envers. Le résultat _0^6 (4-t)\,dt = 6 est positif alors que la consigne devient négative après t = 4 : une intégrale positive ne prouve pas que la fonction est positive. 5. Ce que chaque propriété fait gagner en atelier Propriété Application concrète Ce qu'elle évite linéarité deux actionneurs raccordés en parallèle le développement de la consigne totale additivité cycle composé de deux courses de tout recalculer quand une seule phase change inversion des bornes intégrale posée de la fin vers le début d'un cycle une erreur de signe silencieuse positivité courses dans un seul sens un calcul pour connaître le signe du volume La linéarité est aussi le fondement du principe de superposition en réglage : la réponse d'une boucle à la somme de deux excitations est la somme des réponses à chacune de ces excitations. Traiter chaque excitation séparément rend les calculs plus courts et les erreurs plus localisées. Reste une précaution d'unité : la linéarité ne dispense pas d'homogénéiser les durées. Ajouter le volume transporté en 2\ min à celui transporté en 10\ s n'a aucun sens tant que les deux durées ne sont pas exprimées dans la même unité.

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