Intégrale d'une fonction à valeurs absolues

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• _a^b |f(t)|dt additionne des aires jamais compensées : il est toujours positif. • Il se calcule en découpant l'intervalle aux racines de f et en rétablissant le signe sur chaque portion. • Distance parcourue = |v| ; déplacement = v. • Variation totale d'une position et erreur absolue accumulée d'un écart relèvent de la même intégrale. • |f| | f| dès que f change de signe.

Le cours

1. Ce que mesure une intégrale de valeur absolue La fonction |f| est la distance de f(t) à l'axe des abscisses : elle est positive que f soit positive ou négative. Son intégrale est donc une quantité jamais compensée, là où l'intégrale de f autorise des compensations. _a^b |f(t)|\,dt > 0 dès que f continue n'est pas identiquement nulle • Distance parcourue par un mobile : D = _a^b |v(t)|dt, tandis que le déplacement vaut _a^b v(t)\,dt. • Variation totale d'une consigne de position : elle compte aussi les retours en arrière. • Erreur absolue accumulée d'un système asservi : I = _a^b |e(t)|dt, nulle seulement si l'écart reste nul en permanence. 2. Une intégrale de valeur absolue se calcule intervalle par intervalle Il suffit de repérer les instants où f s'annule, puis de calculer l'intégrale de f sur chaque portion en rétablissant le signe correct : _a^b |f|dt = _k _k _t_k^t_k+1 f(t)\,dt où _k = 1 selon le signe de f sur la portion k Pour la consigne d'écart e(t) = 4-2t^2, en volts, sur [0 ; 2\ s], l'unique racine est t = 2 1,41\ s. La fonction |e| vaut 4 en t = 0, s'annule en t = 2 et vaut de nouveau 4 en t = 2 : 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 1 2 3 4 zéro en t = 1,41 s partie gauche : 3,77 partie droite : 1,10 temps t en secondes écart |e| en volts 3. Méthode : trois gestes pour une intégrale de valeur absolue • Résoudre f(t) = 0 sur l'intervalle et classer les racines obtenues : elles délimitent les portions de signe constant. • Calculer _a^b f(t)\,dt par primitive, en une seule fois, puis évaluer séparément chaque portion pour connaître les parties positive et négative. • Additionner les valeurs absolues : partie positive plus l'opposé de la partie négative. Sur l'exemple précédent, la partie positive vaut 823 3,77\ V·s et la partie négative vaut -1,10\ V·s : leur somme en valeur absolue donne 4,88\ V·s. Divisée par la durée, cette intégrale donne la valeur moyenne de |e| : 4,882 2,44\ V, alors que la valeur moyenne de e n'est que de 1/2 8/3 1,33\ V, les deux parties se compensant en partie. 4. Confusions entre distance, déplacement et valeur absolue Confusion 1 : écrire _a^b |f| = |_a^b f|. Pour u(t) = 8-2t sur [0 ; 8\ s], l'aire algébrique vaut 0 alors que l'intégrale de la valeur absolue vaut 32\ V·s : les deux grandeurs n'ont rien de commun. Confusion 2 : oublier de découper à la racine. Une primitive de f donne une valeur signée : elle ne peut pas servir directement pour |f|. Confusion 3 : confondre distance parcourue et position finale. Un chariot qui va de 0 à 4\ m puis revient à 0\ m a parcouru 8\ m et n'a pas avancé d'un millimètre. 5. Trois lectures de la même intégrale de valeur absolue Lecture Intégrande Grandeur obtenue sur [a ; b] distance parcourue |v(t)| m variation totale |x'(t)| mm erreur absolue accumulée |e(t)| V·s La structure du calcul est identique dans les trois cas : repérer les instants où la fonction change de signe, découper, ajouter les aires. Seule l'interprétation du résultat change. Pour un chariot de consigne v(t) = 6-3t, en m/s, sur [0 ; 4\ s], la même intégrale |v| = 12\ m se lit comme une distance de 12\ m, alors que le déplacement vaut 0\ m : c'est le même calcul, deux conclusions très différentes selon la question posée. Une intégrale de valeur absolue mesure donc ce que le système a réellement parcouru ou subi, indépendamment du sens.

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