Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• _a^b f(t)\,dt est l'aire signée sous la courbe de f sur [a ; b]. • L'hypothèse technique est la continuité de la consigne sur l'intervalle d'étude. • L'unité du résultat est le produit de l'unité de la consigne et de celle de la variable. • Intégrer un débit q(t) revient à mesurer un volume transporté. • Sur un intervalle de durée nulle, l'intégrale vaut zéro.

Le cours

1. L'intégrale d'une consigne, définition Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. L'intégrale de f entre a et b est la valeur vers laquelle convergent les sommes d'aires de rectangles construites sous la courbe de f : _a^b f(t)\,dt • La fonction placée sous le signe est la consigne intégrée, ici notée f(t) ; la variable t est muette : _a^b f(t)\,dt = _a^b f(x)\,dx. • L'intervalle [a ; b] est l'intervalle d'étude : il est lié au temps, à une position ou à une longueur de course. • Le résultat est un nombre, pas une fonction : il a la dimension de la consigne multipliée par celle de la variable d'intégration. • Le signe du résultat est celui de l'aire signée : il ne peut être négatif que si la consigne prend des valeurs négatives sur une partie de l'intervalle. La continuité est l'hypothèse technique usuelle : une consigne de capteur, un débit, une vitesse ou une tension d'erreur variant sans saut sur l'intervalle d'étude vérifie cette condition. Une discontinuité réelle, comme un relais qui commute, impose de couper l'intégrale à l'instant de commutation et d'additionner les intégrales calculées sur chaque morceau. 2. Lecture technique : l'aire sous une consigne de débit Pour une pompe de débit q(t), l'intégrale n'est pas une aire abstraite : c'est le volume réellement transporté pendant la durée d'étude. V = _0^10 (12 + 3\,t)\,dt = [12\,t + 3/2\,t^2]_0^10 = 120 + 150 = 270\ L 0 2 4 6 8 10 10 20 30 40 aire = 270 L temps t en minutes débit q en L/min q(t) = 12 + 3t Sur le schéma, l'aire colorée se lit de deux façons : comme l'aire géométrique sous la courbe, et comme la quantité de liquide qui passe dans la conduite. Les deux lectures donnent le même nombre : 270\ L. 3. Méthode : avant de calculer, dire ce que l'on cherche • Nommer la grandeur : volume, distance, décalage accumulé, charge. L'intégrale est une quantité, pas une courbe. • Écrire l'unité attendue avant le calcul : L pour un débit en L/min intégré sur des minutes, m pour une vitesse en m/s sur des secondes. • Vérifier le signe attendu physiquement : un débit qui reste positif donne un volume positif ; un résultat négatif n'est possible que si le débit s'inverse (reflux) pendant l'intervalle. • Interpréter les bornes : a et b sont deux instants du cycle, pas deux valeurs de la consigne. 4. Les confusions de départ Confusion 1 : croire que _a^b f = f(b) - f(a). Cette formule n'existe pas : la soustraction des valeurs aux bornes n'est valable que pour une primitive de f, déjà construite. Confusion 2 : oublier l'unité de la variable. Une intégrale de débit donne des litres ; la même intégrale de vitesse donne des mètres. L'unité se déduit toujours du produit consigne variable. Confusion 3 : intégrer sur un intervalle vide. On a _a^a f(t)\,dt = 0 : aucune durée, aucune quantité accumulée. 5. Trois vérifications avant de valider une intégrale 1. Vérification dimensionnelle : l'unité obtenue est-elle bien le produit de l'unité de la consigne par celle de la variable ? Un débit en L/min intégré sur des minutes donne des litres, et non des litres par minute. 2. Vérification du signe : une consigne positive sur tout l'intervalle donne une aire positive ; une consigne de signe quelconque donne une aire signée. 3. Comparaison au rectangle : l'aire obtenue est-elle comprise entre m(b-a) et M(b-a), où m et M sont les valeurs extrêmes de la consigne ? Un résultat hors de cet intervalle signale une erreur de primitive ou de bornes. Ces trois contrôles ne coûtent presque rien : une primitive fausse ou des bornes inversées donnent souvent un résultat du mauvais signe ou hors de l'encadrement par les rectangles, ce qui se voit avant même de refaire le calcul.

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