Théorème fondamental du calcul et primitive de F

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) dès que F' = f sur [a ; b]. • Le résultat est indépendant de la constante ajoutée à F. • L'ordre est toujours borne supérieure moins borne inférieure. • Primitive d'un débit = volume, primitive d'une vitesse = position, primitive d'un écart = correction accumulée. • L'intégrale d'une consigne positive sur un intervalle est positive.

Le cours

1. L'intégrale se calcule par une primitive aux bornes Si f est continue sur [a ; b] et si F est une primitive de f sur cet intervalle, alors le théorème fondamental du calcul donne : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) = [F(t)]_a^b • Le résultat ne dépend pas du choix de primitive : ajouter une constante à F ne change pas F(b) - F(a). • La formule impose un signe : on évalue F à la borne supérieure, on retranche la valeur à la borne inférieure, dans cet ordre. • L'unité découle de F : si f est en L/min par rapport au temps, F est en L. C'est cette propriété qui rend le calcul intégral utilisable en atelier : on intègre une consigne en primitives connues, puis on fait une simple soustraction. Exemple immédiat : une primitive de q(t) = 3 est F(t) = 3t, donc _2^5 3\,dt = 15 - 6 = 9 : c'est bien l'aire du rectangle de hauteur 3 et de largeur 5 - 2 = 3. 2. Trois grandeurs techniques obtenues par une primitive Consigne intégrée f(t) Primitive F(t) Grandeur calculée débit q en L/min volume cumulé quantité de liquide transportée vitesse v en m/s position déplacement de la tige écart e en V correction accumulée dérive du terme intégral Dans les trois cas, la primitive répond à la même question : combien depuis le début de l'intervalle. La primitive nulle à l'instant initial se lit donc comme une quantité comptée depuis le début : volume déjà livré, chemin déjà parcouru, correction déjà accumulée. 3. Méthode : cinq gestes pour une intégrale définie • Développer la consigne si elle contient un carré ou un produit. • Primitiver terme à terme, en écrivant la primitive complète avec sa constante. • Évaluer F à la borne supérieure, puis à la borne inférieure, en conservant l'unité à chaque étape. • Soustraire dans l'ordre : borne supérieure moins borne inférieure. • Contrôler le signe, l'ordre de grandeur et la continuité avec la primitive : une primitive qui décroît là où la consigne est positive est forcément fausse. Pour une consigne polynomiale, la primitive s'écrit directement terme à terme : l'intégrale se calcule alors en trois gestes, primitiver, évaluer deux fois, soustraire. La difficulté restante est la borne inférieure. Beaucoup d'erreurs viennent d'une parenthèse oubliée : [F(t)]_a^b se lit F(b) moins F(a) tout entier, et l'ordre de la soustraction conditionne le signe du résultat. 4. Les pièges du théorème fondamental Piège 1 : inverser l'ordre de la soustraction. Si la consigne est positive sur [a ; b], le résultat est positif : c'est un test immédiat de la formule appliquée dans le bon sens. Piège 2 : primitiver (3t-2)^2 en (3t-2)^33. En dérivant, on obtient 3(3t-2)^2, trois fois trop : il faut diviser aussi par le coefficient 3 de t, ou développer avant de primitiver. Piège 3 : croire que l'intégrale est une vitesse moyenne. La valeur moyenne d'une consigne sur un intervalle est l'intégrale divisée par la durée ; l'intégrale seule est une quantité accumulée. 5. La primitive qui s'annule à l'instant initial Pour une consigne de vitesse v, la fonction x(t) = _0^t v()\,d est la primitive de v qui vaut 0 en t = 0 : elle donne, à chaque instant, la course déjà parcourue depuis le départ. Pour la consigne de vitesse v(t) = 2t+1, en mm/s, on obtient x(t) = t^2 + t, et la position atteinte à t = 4\ s vaut : x(4) = [t^2+t]_0^4 = 16 + 4 = 20\ mm La vitesse moyenne sur ce cycle vaut 20/4 = 5\ mm/s, soit la moyenne des vitesses extrêmes 1+9/2, comme pour toute consigne affine. Dans un asservissement de position, l'écart s'obtient ensuite par une simple soustraction : avec une position commandée de 30\ mm, il reste 30 - 20 = 10\ mm à parcourir à t = 4\ s.

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