Bilan : Synthèse et méthode sur Intégration et aires sous une courbe de consigne technique

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Volume : q\,dt ; déplacement : v\,dt ; distance : |v|dt. • Aire entre deux courbes : (f-g)dt, à découper aux croisements. • Écart moyen : 1/b-a u\,dt, compris entre le minimum et le maximum. • Toute intégrale se calcule par F(b)-F(a), la constante s'annulant d'elle-même. • L'unité du résultat est toujours le produit de l'unité de la consigne par celle du temps. • Avant de répondre : vérifier le signe, l'unité, l'ordre de grandeur et la primitive.

Le cours

1. Une grandeur technique, une intégrale, une unité Tout l'outil se résume dans une question : quelle quantité cumulée l'énoncé demande-t-il ? Le tableau ci-dessous donne l'intégrale correspondante et l'unité du résultat. Grandeur demandée Intégrale Unité du résultat Volume transporté par un débit _a^b q(t)\,dt L Volume admis dans un vérin q(t)\,dt L (course = volume ÷ section) Déplacement d'un mobile _a^b v(t)\,dt m Distance parcourue _a^b |v(t)|dt m Aire entre consigne et référence _a^b (u-u_ref)dt V·s, mm·s Écart moyen d'un cycle 1/b-a_a^b u(t)\,dt unité de la consigne Correction accumulée (terme intégral) _0^t e()\,d V·s 2. La méthode en sept étapes, valable pour toutes les consignes 1. Nommer la grandeur et son unité : volume, distance, écart moyen, correction accumulée. 2. Écrire l'intégrale sous la bonne forme : _a^b pour une aire, _0^t pour un cumul, |f| pour une distance. 3. Préparer la consigne : développer si nécessaire, repérer les instants de croisement ou d'annulation, choisir un changement de variable si la consigne est une puissance d'une expression affine. 4. Calculer par primitive aux bornes, ou par changement de variable, ou par encadrement si aucune primitive n'est disponible. 5. Contrôler : signe, unité, ordre de grandeur, et primitive re-dérivée pour vérifier qu'elle est bien primitive. 6. Interpréter : dire ce que représente le nombre obtenu dans l'installation, et préciser les hypothèses (saturation, reflux, valeur absolue). 7. Rédiger la phrase de conclusion avec la valeur, son unité précise et l'hypothèse physique : « le vérin admet 55\ L en 5\ min » plutôt que « le résultat vaut 55 ». 3. Grille de relecture des cinq résultats à connaître Résultat Formule Contrôle immédiat Intégrale définie F(b)-F(a) positive si la consigne est positive Valeur moyenne = 1/b-a f entre le min et le max Aire entre deux courbes (f-g) une portion par croisement Valeur absolue |f| jamais négative, à découper Encadrement m(b-a) I M(b-a) un intervalle, pas une valeur Aucune de ces cinq lignes ne demande de nouvelle théorie : tout le travail consiste à choisir la bonne ligne et à l'appliquer avec la bonne unité. 4. Les six erreurs qui font perdre des points 1. Multiplier par la mauvaise durée : l'unité du résultat vaut l'unité de la consigne fois l'unité du temps. 2. Soustraire à l'envers : F(a)-F(b) au lieu de F(b)-F(a) donne un signe faux. 3. Mal primitiver une puissance composée : une primitive de (at+b)^n est (at+b)^n+1a(n+1) ; oublier la division par a fausse tout le calcul. 4. Oublier le facteur '(t) dans un changement de variable, ou les bornes traduites. 5. Traiter d'un seul bloc une consigne qui change de signe : il faut découper, sinon on obtient une aire signée au lieu d'une distance. 6. Confondre l'encadrement et la valeur, ou la valeur moyenne et l'intégrale. 5. Trois questions pour choisir la bonne intégrale 1. Quelle grandeur est demandée ? Un volume impose q ; un écart moyen impose de diviser l'intégrale par la durée. 2. La consigne change-t-elle de signe ? Si oui et qu'on cherche une distance, il faut intégrer |f| et découper ; si l'on cherche une aire signée, l'intégrale directe suffit. 3. La consigne est-elle une puissance d'une expression affine ? Si oui, le changement de variable évite un développement et fournit directement la primitive. Ces trois questions, dans cet ordre, orientent le calcul ; deux cas s'y ajoutent : une aire entre deux courbes impose d'intégrer la différence, découpée aux croisements, et une consigne sans primitive connue s'encadre. Le reste n'est plus que de l'exécution : développement, primitive, calcul aux bornes et contrôle d'unité. Cette discipline de rédaction est ce qui distingue une réponse utilisable en atelier d'une réponse juste sur le papier.

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