Aire sous une courbe de consigne d'un système asservi

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• L'aire algébrique de l'écart e(t) est la correction accumulée du terme intégral du correcteur. • Pour un intégrateur pur : u(t) = _0^t e()\,d, et u'(t) = e(t). • L'intégrale du débit admis dans un vérin donne le volume d'huile ; la course de la tige s'obtient en divisant ce volume par la section du piston. • La saturation de l'actionneur rend l'aire théorique fictive et fait s'emballer l'intégrateur. • L'écart moyen d'un cycle vaut 1/T_0^T e(t)\,dt.

Le cours

1. La chaîne d'un système asservi et ses intégrales Dans une boucle de régulation, une consigne est comparée à une mesure : c'est l'écart e(t) qui est envoyé au correcteur. Chaque étage de la chaîne se lit alors par une intégrale. Signal de la chaîne Intégrale associée Grandeur calculée écart e(t) en V e(t)\,dt correction accumulée du terme intégral débit vérin q(t) en L/min q(t)\,dt volume d'huile admis, en litres (la course s'en déduit en divisant par la section du piston) vitesse v(t) en m/s |v(t)|dt distance parcourue écart e(t) 1/T e(t)\,dt écart moyen sur le cycle L'aire algébrique de l'écart est donc l'information décisive : elle mesure la correction accumulée par le terme intégral du correcteur ; à l'équilibre, l'écart est nul et cette aire cesse de varier. 2. L'action intégrale et la commande cumulée Un correcteur à action intégrale pure applique à l'écart la commande : u(t) = _0^t e()\,d Pour une consigne d'écart e(t) = 4-t, en volts, on obtient u(t) = 4t-t^22, en volt-secondes. La pente de u est l'écart lui-même, puisque u'(t) = e(t) : plus l'écart est grand, plus la commande varie vite. • u est croissante quand l'écart est positif et décroissante quand il est négatif : la commande pousse dans le sens qui réduit l'écart. • u atteint un extremum quand e s'annule en changeant de signe : ici u est maximale en t = 4\ s, où u(4) = 8\ V·s. • u garde la mémoire de l'écart passé : quand l'écart est revenu à zéro, la commande conserve la valeur accumulée. 3. Méthode : intégrer les signaux d'une boucle sans erreur • Identifier la grandeur : correction accumulée, course, distance ou écart moyen. Chacune impose une intégrale différente. • Intégrer la consigne par une primitive, en tenant compte de sa valeur initiale : une correction accumulée se lit à partir de t = 0, pas à partir d'une position arbitraire. • Repérer la saturation : dès que l'actionneur atteint sa butée physique ou sa limite de courant, l'intégrale théorique n'est plus réalisée. • Surveiller l'accumulation : un intégrateur qui continue de cumuler l'écart pendant la saturation s'emballe (sa commande dépasse largement ce que l'actionneur peut fournir) ; on le neutralise par un dispositif anti-saturation. 4. Les pièges de l'intégration dans une boucle Piège 1 : intégrer la consigne idéale au lieu de l'écart. L'aire utile pour le correcteur est celle de l'écart e(t) = consigne - mesure, pas celle de la consigne seule. Piège 2 : ignorer la saturation. Tant que l'actionneur est bloqué en butée, l'aire calculée est théorique : elle ne correspond à aucune course réelle. Piège 3 : croire que la correction accumulée revient à zéro quand l'écart revient à zéro. Pour e(t) = 4-t, l'écart s'annule en t = 4\ s alors que u(4) = 8\ V·s : c'est la pente de u qui s'annule, pas sa valeur. 5. Le terme intégral d'un correcteur, en chiffres Le rôle de l'intégrale dans une boucle tient en une phrase : elle donne au correcteur la mémoire de l'erreur passée, ce qui lui permet d'annuler une perturbation constante. Pour un écart constant e(t) = 3\ V maintenu pendant 2\ s, la correction accumulée vaut u(t) = 3t, soit 6\ V·s : le correcteur a accumulé l'erreur pendant toute la durée, et c'est cette mémoire qui lui permet de supprimer la perturbation. Un correcteur proportionnel-intégral écrit sa commande sous la forme u(t) = K_p\,e(t) + K_p/T_i_0^t e()\,d. Avec K_p = 2 et T_i = 0,5\ s, un écart de 1,5\ V maintenu 0,4\ s donne une correction accumulée de 1,5 0,4 = 0,6\ V·s, soit une part intégrale de 20,5 0,6 = 2,4\ V. La commande totale vaut alors 2 1,5 + 2,4 = 5,4\ V : l'action intégrale représente ici près de la moitié de la commande, ce qui se lit directement sur l'aire accumulée. C'est aussi la raison pour laquelle la saturation est dangereuse : tant que la vanne est en butée, l'aire continue de croître sans produire d'effet mécanique.

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