Aire entre deux courbes sur un intervalle

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• f g sur [a ; b] donne A = _a^b (f(t)-g(t))dt. • L'aire est sans signe, l'intégrale de la différence est une aire signée. • Un changement d'ordre des courbes impose de découper aux instants de f(t) = g(t). • Une tangence ne change pas l'ordre des courbes et ne justifie aucun découpage. • L'unité de l'aire est celle de l'écart multipliée par celle du temps.

Le cours

1. L'aire entre une consigne et sa référence Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b], avec f(t) g(t) sur tout l'intervalle. L'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut : A = _a^b (f(t)-g(t))\,dt En technique, l'aire la plus utile est presque toujours l'aire entre une consigne et sa référence : la tension mesurée d'un capteur et sa consigne idéale, la position réelle d'une tige et la position commandée, la courbe de couple et son seuil. L'unité obtenue est le produit de l'unité de l'écart par l'unité du temps : une consigne de position en millimètres donne une aire en mm·s, une consigne de tension en volts donne une aire en V·s, unité que l'on appelle le volt-seconde d'écart. 2. Trouver les bonnes bornes : les points de croisement La formule s'applique directement lorsque l'ordre des courbes ne change pas sur l'intervalle. Dès que les courbes se croisent, l'aire se décompose et l'intégrale doit être découpée aux instants de croisement, solutions de f(t) = g(t). Par exemple, si g est au-dessus de f sur [a ; t_1] et sur [t_2 ; b], et en dessous sur [t_1 ; t_2] : A = _a^t_1 (g-f)dt + _t_1^t_2 (f-g)dt + _t_2^b (g-f)dt Une solution de f(t) = g(t) qui correspond à une tangence et non à un croisement ne change pas l'ordre des courbes : il ne faut alors pas découper. Un croisement situé exactement sur une extrémité de l'intervalle ne change rien non plus : seuls comptent les croisements strictement intérieurs à l'intervalle. 3. Méthode : quatre vérifications avant de calculer une aire • Identifier les deux courbes : laquelle est au-dessus ? Le dire explicitement avant toute intégrale. • Résoudre f(t) = g(t) sur l'intervalle et noter les instants de croisement, s'ils existent. • Écrire l'aire sous la forme d'une ou plusieurs intégrales de la différence, toujours dans le bon ordre. • Contrôler : l'aire obtenue est positive, l'unité est cohérente, et le résultat ne dépasse pas l'aire du rectangle englobant les deux courbes. Sur l'intervalle [0 ; 3\ s], la consigne u(t) = 5 - t reste au-dessus de sa référence u_ref = 1\ V, puisque u(t) - 1 = 4 - t 1 : une seule intégrale suffit, et l'aire vaut _0^3 (4-t)\,dt = 12 - 4,5 = 7,5\ V·s. 4. Les pièges du domaine entre deux courbes Piège 1 : calculer _a^b (f-g)dt sans vérifier l'ordre. Cette intégrale est une aire signée : elle peut être négative, voire nulle, alors que l'aire géométrique est toujours positive. Piège 2 : découper aux points de tangence. Une tangence ne change pas l'ordre des courbes : le découpage y est inutile et complique le calcul. Piège 3 : confondre l'aire et l'écart moyen. L'aire se mesure en V·s ou en mm·s, alors que l'écart moyen se mesure en volts ou en millimètres : diviser par la durée pour retrouver une unité de consigne. 5. Deux aires d'écart utilisées pour juger une régulation L'aire de l'écart se lit de deux façons complémentaires, et les deux sont utilisées en pratique pour évaluer une boucle. Aire Formule Ce qu'elle mesure écart cumulé _0^T e(t)\,dt le bilan signé : des écarts de signes opposés s'y compensent écart absolu cumulé _0^T |e(t)|dt la qualité du suivi Pour une consigne d'écart e(t) = 0,5\,t-1, en volts, sur [0 ; 4\ s], l'écart s'annule en t = 2\ s : _0^4 (0,5t-1)dt = [0,52t^2-t]_0^4 = 4 - 4 = 0\ V·s _0^4 |0,5t-1|dt = 2[t-0,52t^2]_0^2 = 2\,(2-1) = 2\ V·s Les deux valeurs sont très différentes : sur ce cycle, les écarts positifs et négatifs se compensent exactement (écart cumulé nul), mais le suivi n'est pas parfait pour autant, puisque l'écart absolu cumulé vaut 2\ V·s. Seule la seconde aire mesure la qualité du suivi.

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