Changement de variable algébrique simple de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Choisir u = a\,t+b pour absorber une expression affine : du = a\,dt et dt = dua. • Traduire systématiquement les bornes : l'ancienne borne en t devient une valeur de u. • Le facteur issu de la substitution ne disparaît jamais : il reste multiplicateur dans l'intégrale. • Si a < 0, les bornes sont inversées et le signe de du compense exactement. • Aucun reliquat de t ne doit subsister dans le calcul final.

Le cours

1. Remplacer une expression par une nouvelle variable Une consigne de débit est souvent écrite sous la forme d'une puissance d'une expression simple, par exemple q(t) = (3t-2)^2 : primitiver directement est pénible. On introduit alors une nouvelle variable u qui porte l'expression gênante, et l'on garde une trace de la correspondance entre t et u. u = 3t - 2 du = 3\,dt dt = du3 Le changement de variable ne se limite donc jamais à un renommage : il introduit un facteur, qui est précisément ce que l'on oublie le plus souvent. La relation du = 3\,dt traduit simplement que u varie trois fois plus vite que t : quand t augmente de 1, u augmente de 3. Si le coefficient de t est négatif, u diminue quand t augmente : c'est pourquoi une substitution décroissante inverse l'ordre des bornes. 2. Le tableau de correspondance à remplir avant de calculer Une méthode fiable consiste à écrire trois lignes avant toute intégration : l'expression remplacée, le facteur différentiel, et surtout les nouvelles bornes, obtenues en remplaçant les bornes de t dans u. Donnée Avant Après le changement de variable Variable t u = 3t-2 Différentiel dt du = 3\,dt Borne inférieure t = 1 1 u = 1 Borne supérieure t = 3 3 u = 7 Expression à primitiver 3t-2 u Les bornes deviennent 1 et 7 : elles ne sont plus exprimées en temps mais dans la nouvelle variable. Le facteur 1/3 reste, lui, dans l'intégrale. Le tableau se remplit avant tout calcul, jamais pendant : une borne oubliée dans la colonne de droite se voit immédiatement, alors qu'une borne perdue dans une ligne de calcul ne se voit plus. Le facteur issu de la substitution et les bornes sont les deux causes d'erreur de cette étape ; le reste est un calcul de primitive classique. 3. Méthode : le changement de variable en quatre lignes • Choisir la variable u pour absorber l'expression la plus encombrante de la consigne, de préférence une expression affine en t. • Écrire la relation différentielle complète, avec son signe : du = a\,dt lorsque u = a\,t + b. • Traduire les bornes : l'ancienne borne inférieure devient la nouvelle borne inférieure, et de même pour la borne supérieure. • Remplacer partout, puis primitiver en u : plus aucune lettre t ne doit subsister dans le calcul. Si le coefficient a est négatif, les bornes sont alors parcourues dans le sens inverse : c'est normal, et c'est précisément le signe de du qui rétablit le bon résultat. 4. Les trois erreurs du changement de variable Erreur 1 : oublier le facteur. Écrire u\,du au lieu de u/3\,du revient à multiplier le résultat par 3 : sur l'exemple, on trouverait 24 au lieu de 8. Erreur 2 : conserver les bornes exprimées en t. L'intégrale se calcule alors entre 1 et 3 dans la variable u, ce qui n'a aucun sens : il faut 1 et 7. Erreur 3 : oublier le signe quand u décroît. Avec u = 5-2t et t [0 ; 2], on a du = -2\,dt et les bornes deviennent 5 puis 1 : les deux effets se compensent, et le résultat reste positif. 5. Trois substitutions qui simplifient une intégrale de consigne Situation rencontrée Choix de la variable Facteur à ne pas oublier débit q(t) = 3t-2 u = 3t-2 dt = du3 débit q(t) = 5-2t u = 5-2t dt = -du2 consigne q(t) = 2(3t-1)+4 u = 3t-1 dt = du3 et q = 2u+4 Dans le troisième cas, la substitution ne sert pas à simplifier la primitive mais à structurer le calcul : on primitive d'abord en u, ce qui évite de perdre du temps sur les coefficients, puis on revient à t. Dans tous les cas, la correspondance des bornes se fait dans la nouvelle variable et jamais dans l'ancienne : c'est la seule opération qui distingue une substitution correcte d'une simple réécriture.

Dans ce chapitre