Calcul d'une intégrale définie par majoration ou minoration

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• m f M sur [a ; b] donne m(b-a) _a^b f M(b-a). • L'encadrement par rectangles est bien plus serré si la consigne est monotone. • Sa largeur vaut t(M-m) et diminue comme 1/n. • Un encadrement fournit un intervalle, jamais une valeur : la valeur reste à établir par la primitive. • L'ordre de grandeur de l'aire se contrôle avec les extrema, même sans aucun calcul.

Le cours

1. Encadrer une intégrale sans la calculer Lorsqu'aucune primitive n'est disponible, ou lorsque la consigne n'est connue que par quelques mesures, on encadre l'intégrale au lieu de la calculer exactement. m f(t) M sur [a ; b] m\,(b-a) _a^b f(t)\,dt M\,(b-a) • m est le minimum de la consigne et M son maximum sur l'intervalle ; l'encadrement a la même unité que l'aire cherchée. • Si la consigne est monotone, les rectangles à gauche et à droite fournissent un encadrement bien plus serré que les extrema. • L'erreur commise est bornée : elle ne dépasse jamais la largeur de l'encadrement retenu. Majorer ou minorer ne dispense jamais d'une unité : l'encadrement [12 ; 120]\ kN·s n'a de sens que si l'on a d'abord identifié l'aire comme un effort fait pendant un temps, c'est-à-dire une unité de force multipliée par une unité de temps. 2. Deux niveaux d'encadrement sur une même consigne Soit une consigne d'effort f(t) = 1/2t^2+2, exprimée en kN, sur [0 ; 6\ s]. Elle est croissante : m = f(0) = 2 et M = f(6) = 20. Encadrement Calcul Aire comprise entre Par les extrema 2 6 I 20 6 12\ kN·s et 120\ kN·s Rectangles, n = 3 2(2+4+10) I 2(4+10+20) 32\ kN·s et 68\ kN·s Valeur exacte 6^36+2 6 48\ kN·s La largeur de l'encadrement vaut exactement t (M-m) : c'est la seule quantité à réduire pour gagner en précision, et elle diminue comme 1/n. 3. Méthode : encadrer en quatre gestes • Chercher les extrema de la consigne sur l'intervalle, en dérivant si nécessaire, ou en les lisant sur la courbe. • Poser l'encadrement grossier m(b-a) I M(b-a) : il donne l'ordre de grandeur et le signe de l'aire. • Découper l'intervalle si la consigne n'est pas monotone (aux instants où elle change de sens de variation), et refaire l'encadrement sur chaque portion. • Comparer la largeur obtenue et la précision attendue : si l'encadrement reste trop large, il faut passer à une primitive, car la majoration converge lentement. Une approximation nettement meilleure s'obtient avec la méthode des trapèzes (ce n'est plus un encadrement mais une valeur approchée) : pour une consigne régulière, l'erreur diminue comme t^2 au lieu de t. Sur la consigne f(t) = 1/2t^2+2, avec six intervalles de 1\ s : S_t = 2+2,52+2,5+42+4+6,52+6,5+102+10+14,52+14,5+202 = 48,5\ kN·s La valeur exacte vaut 48\ kN·s : l'erreur n'est que de 0,5\ kN·s, alors que la méthode des rectangles avec le même nombre d'intervalles encadre l'aire dans un intervalle de largeur 18\ kN·s. C'est pourquoi, dès qu'une primitive est connue, on lui préfère le calcul exact. 4. Ce que l'encadrement ne permet pas Piège 1 : oublier la durée. L'encadrement porte sur _a^b f et non sur f : multiplier le maximum par b-a est indispensable. Piège 2 : confondre le maximum de la consigne et celui de sa dérivée. Pour f(t) = 1/2t^2+2, le maximum de f vaut 20 et celui de f' = t vaut 6 : l'encadrement juste est [12 ; 120], et non [0 ; 36], obtenu à tort avec les extrema 0 et 6 de f'. Piège 3 : présenter l'encadrement comme une valeur. Dire « l'aire vaut 68\ kN·s » alors que l'on a seulement encadré l'aire entre 32 et 68 : l'aire exacte vaut 48\ kN·s. 5. Convergence de l'encadrement selon le nombre de rectangles Pour la consigne f(t) = 1/2t^2+2 sur [0 ; 6\ s], la largeur de l'encadrement obtenu par la méthode des rectangles vaut 108/n : elle diminue comme l'inverse du nombre de rectangles. Nombre de rectangles n Largeur 6/n Largeur de l'encadrement 1 6\ s 108\ kN·s 3 2\ s 36\ kN·s 6 1\ s 18\ kN·s 12 0,5\ s 9\ kN·s 22 0,27\ s 4,91\ kN·s Doubler le nombre de rectangles ne divise donc l'erreur que par deux : c'est la faiblesse de l'encadrement, et la raison pour laquelle le calcul par primitive reste la solution précise.

Dans ce chapitre