Intégrale approchée par sommes de rectangles de classe de 1ère

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une aire s'obtient par f(t_k)\, t, c'est-à-dire des rectangles de hauteur f et de largeur t. • Somme de gauche et somme de droite encadrent l'aire si la consigne est monotone. • L'unité de l'aire est le produit de l'unité de la consigne par celle du temps : ici L/min min = L. • L'encadrement est d'autant plus précis que t est petit ; pour une consigne monotone, sa largeur vaut t|f(b)-f(a)|. • La somme trapézoïdale est une approximation bien plus juste pour une consigne peu courbée.

Le cours

1. Mesurer une aire en empilant des rectangles Une aire se mesure d'abord de façon approchée : on découpe l'intervalle en petits intervalles, et sur chacun on remplace la courbe par un rectangle de largeur t et de hauteur égale à la valeur de la consigne en une extrémité. La somme de ces aires est une approximation de l'aire cherchée : S_n = _k=0^n-1 f(t_k)\, t avec t = b-a/n Lorsque le nombre de rectangles n augmente, S_n se rapproche d'une valeur limite, notée _a^b f(t)\,dt. Chaque rectangle a pour aire un produit hauteur largeur : c'est la clé de l'unité obtenue. 2. Un calcul complet sur une consigne de débit On considère la consigne de débit q(t) = 4 + t^2, en L/min, sur [0 ; 3\ min], découpée en trois intervalles de 1\ min. Les hauteurs disponibles sont q(0) = 4, q(1) = 5, q(2) = 8 et q(3) = 13. Méthode Calcul Valeur obtenue Rectangles à gauche 1(4+5+8) 17\ L Rectangles à droite 1(5+8+13) 26\ L Rectangles au milieu 1(4,25+6,25+10,25) 20,75\ L Trapèzes 1(4+5/2 + 5+8/2 + 8+13/2) 21,5\ L Valeur exacte 43 + 3^33 21\ L La consigne est croissante : les rectangles à gauche sont sous la courbe, les rectangles à droite sont au-dessus. L'aire cherchée est donc comprise entre 17 et 26, et la valeur exacte 21 se trouve bien entre les deux. 3. Méthode : de l'échantillonnage du capteur à l'aire estimée • Relever les valeurs de la consigne aux instants d'échantillonnage : sans ces mesures, aucune somme de rectangles n'est possible. • Calculer la largeur réelle d'un échantillon t, en tenant compte de l'unité de la consigne : 30\ s = 0,5\ min. • Multiplier chaque hauteur par t, puis additionner : la somme a la dimension d'un produit consigne durée. • Encadrer le résultat entre la somme de gauche et la somme de droite lorsque la consigne est monotone : l'encadrement est d'autant plus serré que t est petit. La largeur de cet encadrement vaut exactement t |f(b) - f(a)| pour une consigne monotone (croissante ou décroissante) : c'est la quantité à réduire pour gagner en précision. Pour une consigne affine, la méthode des trapèzes est exacte dès le premier intervalle : pour q(t) = 3+t sur [0 ; 4\ min], un seul trapèze de bases 3 et 7 et de hauteur 4 donne 4 3+7/2 = 20\ L, qui est la valeur exacte. 4. Le piège de l'aire sans la largeur Piège 1 : additionner les hauteurs 4 + 5 + 8 = 17 et annoncer 17\ L. Ce nombre est une somme de débits, en L/min : il ne devient un volume qu'après multiplication par t. Le résultat n'est juste ici que parce que t = 1\ min. Piège 2 : mélanger les unités de temps. Un capteur échantillonné toutes les 30\ s fournit une largeur de 0,5\ min si le débit est en L/min. Prendre t = 30 conduit à une valeur 60 fois trop grande. Piège 3 : croire que l'aire obtenue est exacte. Une somme de rectangles est une approximation encadrée, elle ne remplace pas le calcul exact. 5. Comparaison des méthodes d'approximation sur la même consigne Sur la consigne q(t) = 4+t^2, en L/min, découpée en trois intervalles de 1\ min sur [0 ; 3], les quatre méthodes usuelles donnent des résultats très différents, alors que la valeur exacte est 21\ L. Méthode Valeur obtenue Position par rapport à 21\ L rectangles à gauche 17\ L en dessous, la consigne est croissante rectangles à droite 26\ L au-dessus rectangles au milieu 20,75\ L légèrement en dessous trapèzes 21,5\ L légèrement au-dessus valeur exacte 21\ L référence Ce tableau donne une règle de choix : pour une consigne convexe comme 4+t^2, les rectangles à gauche sous-estiment et les rectangles à droite sur-estiment, tandis que la méthode du milieu sous-estime légèrement et celle des trapèzes sur-estime légèrement : ces deux approximations encadrent la valeur exacte de près. L'encadrement gauche-droite, lui, a pour largeur 1 (13-4) = 9\ L.

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