Vérification d'une primitive par dérivation

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• F est une primitive de f si et seulement si F' = f sur l'intervalle : dériver F suffit à le prouver. • L'ajout d'une constante ne modifie pas la vérification, donc ne peut jamais expliquer une erreur. • Un terme constant de la consigne donne un terme linéaire dans la primitive. • Après dérivation, le coefficient de chaque terme doit être rigoureusement identique à celui de la consigne. • L'aire calculée doit avoir le signe de la consigne sur l'intervalle.

Le cours

1. Dériver pour vérifier, jamais l'inverse Vérifier qu'une fonction F est une primitive de f consiste à dériver F et à vérifier que l'on retrouve f : dériver est une opération mécanique et sûre, c'est donc la preuve la plus directe. F primitive de f sur I F'(t) = f(t) pour tout t I Une primitive correcte peut être modifiée par l'ajout d'une constante : la vérification par dérivation ne peut donc jamais être faussée par le choix de cette constante. En revanche, une erreur sur un coefficient, un signe ou une puissance est immédiatement visible. La dérivation est d'autant plus fiable qu'elle est mécanique : aucun choix de méthode, seulement une règle par terme. 2. Trois contrôles complémentaires d'une primitive • Contrôle par dérivation terme à terme : dériver chaque terme séparément et recomposer, en conservant les facteurs constants. • Contrôle par une valeur : comparer F'(t) et f(t) en une valeur simple, par exemple t = 1. Une différence prouve l'erreur ; une égalité en un seul point ne suffit pas à valider. • Contrôle par l'aire : l'aire algébrique calculée par F(b)-F(a) doit avoir le même signe que la consigne lorsque celle-ci est de signe constant sur l'intervalle, et un ordre de grandeur compatible avec le rectangle englobant la courbe. Sur q(t) = 6t^2-4t+3 avec F(t) = 2t^3-2t^2+3t+C, la dérivation redonne 6t^2-4t+3 exactement : la primitive est validée. 3. Méthode : la grille de relecture d'une primitive • Degré : si la consigne est un polynôme de degré n, la primitive est de degré n+1, et son coefficient dominant vaut celui de la consigne divisé par n+1. • Coefficients : en dérivant, chaque terme doit redonner exactement le coefficient de la consigne : a/n+1\,t^n+1 redonne a\,t^n. • Constantes : un terme constant c de la consigne donne un terme linéaire c\,t dans la primitive, et non un terme constant. • Signes : pour un polynôme, chaque coefficient de la primitive a le signe du coefficient correspondant de la consigne, puisqu'on divise par un nombre positif. • Point de contrôle : évaluer F' et f en une valeur simple, par exemple t = 1 ; un écart signale immédiatement l'erreur. 4. Les trois erreurs que la vérification démasque Erreur 1 : intégrer le terme constant comme s'il restait constant. De 4 on obtient 4t et non 4 : c'est l'erreur la plus fréquente, et elle fausse toute intégrale sur [a ; b] de 4(b-a). Erreur 2 : oublier de diviser par la puissance augmentée de 1. La dérivée de t^3 vaut 3t^2 : la primitive de t^2 est t^33, pas t^3. Erreur 3 : changer un signe en route. La dérivation redonne alors un terme de signe opposé, ce qui se voit immédiatement si l'on compare F' et f terme à terme, ou en une valeur simple. 5. Table des erreurs détectées par la dérivation Erreur dans la primitive Ce que donne F' Conséquence sur l'intégrale terme constant gardé constant le terme disparaît intégrale faussée de c\,(b-a) division par n+1 oubliée coefficient multiplié par n+1 terme n+1 fois trop grand dans l'intégrale signe inversé un terme de signe opposé contribution de ce terme comptée à l'envers Ces trois erreurs ont un point commun : elles sont systématiques. La dérivation complète, terme par terme, les révèle toujours ; une comparaison en un seul point les détecte presque toujours, mais ne suffit pas à valider une primitive. Un contrôle supplémentaire consiste à comparer l'aire obtenue à celle d'un encadrement par les extrema : si l'intégrale sort de l'intervalle [m(b-a) ; M(b-a)], le calcul (primitive ou évaluation aux bornes) est nécessairement faux, avant même toute dérivation.

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