Aire algébrique et calcul d'une valeur moyenne

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Aire algébrique : différence entre partie positive et partie négative, elle peut s'annuler. • Aire géométrique : somme des deux parties, toujours positive. • Valeur moyenne : = 1/b-a_a^b f(t)\,dt, exprimée dans l'unité de la consigne. • f f, et pour une consigne affine est la moyenne des bornes. • La durée du diviseur est toujours la durée totale de l'intervalle d'étude.

Le cours

1. Deux aires pour une consigne qui change de signe Lorsque la consigne traverse l'axe des abscisses, l'intégrale ne mesure plus une aire mais une aire algébrique : les parties situées au-dessus de l'axe comptent positivement, celles situées au-dessous négativement. _a^b f(t)\,dt = _a^b f^+(t)\,dt_partie positive - _a^b f^-(t)\,dt_partie négative Ici f^+ vaut f là où f 0 et 0 ailleurs, tandis que f^- vaut -f là où f est négative et 0 ailleurs : ces deux fonctions sont positives. Deux grandeurs doivent donc toujours être distinguées : l'aire algébrique, qui est une différence et peut s'annuler, et l'aire géométrique, somme des deux parties, qui est toujours positive. 2. La valeur moyenne : une hauteur équivalente La valeur moyenne de la consigne sur [a ; b] est l'aire algébrique divisée par la durée de l'intervalle : = 1/b-a_a^b f(t)\,dt Elle correspond à la hauteur du rectangle d'aire égale à celle sous la courbe, de base b-a. Sur une consigne technique, elle répond à des questions très concrètes : débit moyen d'une pompe sur un cycle, écart moyen d'un système asservi, vitesse moyenne d'un chariot. Deux propriétés garantissent un contrôle immédiat : • f f sur [a ; b] : une moyenne ne peut pas sortir de l'intervalle des valeurs prises. • Pour une consigne affine, est exactement la moyenne des deux valeurs aux bornes. • La valeur moyenne de |f| n'est pas la valeur moyenne de f : ce sont deux grandeurs de nature différente. 3. Méthode : séparer les phases avant de moyenner • Repérer les instants où la consigne s'annule, en résolvant f(t) = 0 sur l'intervalle. • Calculer l'aire algébrique sur l'intervalle entier en une seule fois, par primitive. • Calculer séparément l'aire de chaque phase de signe constant, ce qui donne la partie positive et la partie négative. • Moyenne : diviser l'aire algébrique par la durée totale pour obtenir , et non par la durée de la seule phase positive. Exemple : u(t) = 8-2t sur [0 ; 8\ s] donne une aire algébrique nulle et donc une valeur moyenne nulle, alors que la partie positive atteint 16\ V·s : la moyenne ne dit rien du « passage » du signal. Attention à l'intervalle : pour u(t) = 6-2t, la moyenne sur [0 ; 8\ s] vaut 48-64/8 = -2\ V, alors que sur [0 ; 4\ s] elle vaut 24-16/4 = 2\ V. Pour un signal périodique, on calcule la moyenne sur une période entière : elle est la même sur un nombre entier de périodes. 4. Confusions entre moyenne, aire algébrique et écart moyen Confusion 1 : confondre l'aire algébrique et la valeur moyenne. Il manque la division par b-a : une consigne de 8\ V maintenue 4\ s donne une aire de 32\ V·s et une moyenne de 8\ V. Confusion 2 : conclure qu'une valeur moyenne nulle signifie une consigne nulle. Une consigne biphasique, positive puis négative, a une moyenne nulle sans être identiquement nulle. Confusion 3 : calculer la moyenne sur une seule phase. La durée à diviser est celle de l'intervalle d'étude complet, sinon on ne trouve pas la moyenne de la consigne mais celle d'un extrait. 5. Moyenne sur un cycle et moyenne d'une phase La valeur moyenne dépend de l'intervalle choisi : comparer deux moyennes sans préciser leur intervalle n'a aucun sens. Intervalle Aire sous q(t) = 5+t Durée Valeur moyenne [0 ; 10\ min] 100\ L 10\ min 10\ L/min [0 ; 4\ min] 28\ L 4\ min 7\ L/min [4 ; 6\ min] 20\ L 2\ min 10\ L/min [6 ; 10\ min] 52\ L 4\ min 13\ L/min Les trois phases [0 ; 4], [4 ; 6] et [6 ; 10] recouvrent tout le cycle : par additivité, 28 + 20 + 52 = 100\ L, et la moyenne générale est la moyenne des moyennes pondérée par les durées : 4 7 + 2 10 + 4 13/10 = 10\ L/min. On retient donc deux réflexes : préciser l'intervalle dans la phrase de résultat, et vérifier que la moyenne obtenue reste comprise entre le minimum et le maximum de la consigne sur cet intervalle.

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