Fonction exponentielle de référence et sa courbe de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• est définie sur R, strictement croissante, toujours strictement positive. • (0) = 1, (1) 2,71828, (-1) 0,367879, (2,4) 11,0232. • (a + b) = (a)(b) et (-x) = 1/(x) : la symétrie est un outil de calcul. • Une grandeur qui décroît indéfiniment sans s'annuler correspond à (-x) qui tend vers 0.

Le cours

1. Les propriétés de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est définie sur tout R et ne prend jamais la valeur nulle : (x) > 0 pour tout réel x. On l'écrit (x) et non e x : la constante e 2,71828 est un nombre, est une fonction. • (0) = 1 : c'est l'unique point où la courbe croise l'axe des ordonnées. • est strictement croissante sur R, ce qui lui permet d'admettre une fonction réciproque, le logarithme népérien . • (a + b) = (a) (b) et (na) = (a)^n. • (x) = 1 pour x = 0 seulement : dès que x > 0, la courbe est au-dessus de 1. 2. Deux repères de lecture de la courbe La courbe passe par (0\,;\,1) et se rapproche de l'axe des abscisses quand x devient très négatif : (x) tend vers 0 sans jamais l'atteindre. Sur un procédé, cela se traduit par une grandeur qui diminue indéfiniment sans s'annuler, comme la concentration d'un polluant dans un bac de traitement. • Pour x > 0, la courbe monte de plus en plus vite : entre 0 et 1 elle gagne 1,72 unité, entre 2 et 3 elle en gagne 12,70. • Entre deux instants t_1 et t_2, le rapport (t_2)/(t_1) = (t_2 - t_1) ne dépend que de l'écart t_2 - t_1, pas des instants eux-mêmes : sur deux intervalles de même durée, la grandeur est multipliée par le même facteur. x (x) (-x) Lecture sur un procédé -2 0,135335 7,38906 la grandeur est divisée par 7,4 -1 0,367879 2,71828 il reste 36,8\ \% de la valeur initiale 0 1 1 instant de référence 1 2,71828 0,367879 la grandeur est multipliée par 2,72 2 7,38906 0,135335 la grandeur est multipliée par 7,4 3. Deux réflexes de calcul à la calculatrice Le premier réflexe consiste à symétriser : (-x) = 1/(x). On calcule donc seulement la valeur positive, puis on prend l'inverse, ce qui évite les pertes de précision et les fautes de frappe. • Pour un petit argument, (x) est proche de 1 + x : (0,05) 1,0513, ce qui donne un ordre de grandeur immédiat. • Pour vérifier une valeur, on contrôle le produit : (2,4) (-2,4) = 11,0232 0,0907 1,00. 4. Trois pièges de lecture • (3) 3 e : on a (3) 20,0855 alors que 3 2,71828 8,15. En effet (3) = e^3 = e e e : l'argument est un exposant, pas un facteur. • Confondre la courbe de avec celle d'une décroissance : (x) ne descend jamais. Une grandeur qui diminue est modélisée par (-x), pas par (x). • Confondre fraction restante et durée : (-2,4) 0,0907 signifie qu'il reste 9,07\ \% de la grandeur au bout de 2,4\,. Pour remonter d'un pourcentage à une durée, il faut le logarithme népérien, pas une division.

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