Convergence d'une suite exponentielle et calcul d'une limite

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• u_n = u_0q^n : la limite est 0 si |q| 1 (pour u_0 > 0). • q -1 : la suite alterne de signe sans limite ; -1 0 donne une divergence. • Lorsque > 0, le seuil s est franchi au premier entier n supérieur ou égal à (s/u_0)/.

Le cours

1. Une suite exponentielle généralise le modèle Lorsqu'un relevé est fait à intervalles réguliers (chaque cycle, chaque mois) plutôt qu'en continu, on obtient une suite géométrique : u_n = u_0\,q^n, où q est le coefficient multiplicatif entre deux relevés consécutifs. La limite de cette suite se lit dans la valeur de q. • Si |q| • Si q = 1 : la suite est constante ; si q > 1 (avec u_0 > 0), elle tend vers +. • Si q Coefficient q Exemple industriel u_n Interprétation 0,5 efficacité d'un filtre 0 les résidus tendent vers 0 0,86 rendement d'un cycle 0 la perte unitaire s'amortit 1 parc maintenu u_0 ni croissance ni décroissance 1,25 parc de machines + le parc double tous les 3,11 rangs -0,5 relevé de signe alterné 0 oscillation amortie d'un capteur 2. Calculer la limite d'un modèle continu Le même raisonnement s'applique à u(t) = u_0( t) lorsque t est un temps réel : la limite dépend du signe de ; une limite nulle n'est jamais atteinte, mais tout seuil s > 0 est franchi en un temps fini. • • > 0 _t + u(t) = + : aucune stabilisation n'est possible. • Pour un seuil s fixé, l'instant d'atteinte est toujours t = (u_0/s) ou t = 1/(s/u_0). 3. Chercher le premier rang qui franchit un seuil C'est la question industrielle de tous les jours : à partir de quel mois, quel jour ou quel cycle le procédé devient-il acceptable ? On procède par logarithme, puis par arrondi à l'unité supérieure. • 1. Écrire l'inégalité sous la forme u_0\,q^n s ou u_0( n) s (ou avec ), sachant que q^n = (n q). • 2. Isoler n avec un logarithme, en tenant compte du sens : > 0 donne n (s/u_0)/. • 3. Arrondir à l'entier supérieur, puis vérifier les deux rangs encadrants par le calcul direct. 4. Pièges sur les limites • Conclure à une limite nulle alors que q > 1 : une suite en croissance n'a pas de limite finie, elle diverge vers +. • Diviser par • Oublier d'arrondir : n = 28,06 rangs signifie que le seuil n'est franchi qu'au rang 29.

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