Exponentielle et charges financières d'un investissement

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Une charge d'exploitation qui dérive s'écrit C(t) = C_0( t) avec C_0 la charge de première année. • = (1 + r) pour un taux de dérive annuel r, et non = r. • Date de croisement de deux scénarios : t = (C_0A/C_0B)_B - _A. • Contrôle : C_0(1 + r)^n et C_0( n) coïncident aux années entières.

Le cours

1. La charge d'exploitation croît, elle aussi Lorsqu'on achète du matériel, la question n'est pas seulement le prix d'achat : c'est le coût d'exploitation cumulé. Maintenance, énergie, consommables augmentent d'année en année selon un coefficient prévu au contrat, et ce coût est une fonction exponentielle du temps. • Modèle : C(t) = C_0( t), avec C_0 la charge de première année et le taux de dérive continu, en an^-1. • Si le contrat prévoit une hausse annuelle au taux r (par exemple r = 0,06 pour 6\ \%), alors = (1 + r) et non r : l'écart est faible mais il se cumule. • Une charge qui reste constante correspond à = 0 : le modèle exponentiel ne décrit que les charges qui dérivent. 2. Comparer deux scénarios d'investissement Deux scénarios se comparent en cherchant l'instant où leurs charges se croisent : c'est la date à partir de laquelle le scénario le plus coûteux au départ, mais qui dérive le moins vite, devient le moins cher à exploiter. • C_A(t) = C_B(t) (C_0AC_0B) = (_B - _A)\,t. • Donc t = (C_0A/C_0B)_B - _A : un logarithme et une division, rien de plus. • Avant cette date, le scénario le moins cher au départ l'emporte ; après, c'est l'autre. Scénario Charge initiale C_0 par an Charge à 5 ans Charge à 10 ans A : four à régulation simple 45\,000\ € 0,04 54\,963\ € 67\,132\ € B : four à haut rendement 30\,000\ € 0,11 51\,998\ € 90\,125\ € C : four d'occasion 18\,000\ € 0,15 38\,106\ € 80\,670\ € 3. Méthode : chiffrer une décision d'investissement Quatre étapes suffisent, et elles sont toujours les mêmes, quel que soit le procédé concerné. • 1. Relever la charge de première année et le taux de dérive annuel dans le contrat ou le devis. • 2. Calculer = (1 + r) et non r, puis écrire C(t) = C_0( t). • 3. Comparer les scénarios à l'horizon de la décision, et chercher la date de croisement si elle existe. • 4. Contrôler avec le coefficient multiplicatif : C_0(1 + r)^n doit donner le même résultat aux années entières. 4. Pièges financiers • Utiliser = r au lieu de = (1 + r) : à 6\ \% par an sur une charge initiale de 12\,000\ €, la charge calculée à t = 10 ans est surestimée de 375\ €, soit 1,7\ \%, et l'écart grandit chaque année. • Comparer deux scénarios à des horizons différents : la charge la plus faible à 5 ans peut être la plus élevée à 10 ans, il faut donc fixer l'horizon avant de conclure. • Oublier la charge initiale : deux scénarios de départ différents peuvent avoir le même coefficient et des conclusions opposées.

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