Temps caractéristique d'un régime exponentiel

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• = 1/|a| a la même unité que t et décrit la vitesse du régime. • Décroissance : au bout de , il reste 36,8\ \% ; montée vers une valeur limite : 63,2\ \% du chemin parcouru ; croissance (t/) : grandeur multipliée par e 2,72. • 3 donne 95\ \%, 5 donne 99,3\ \% : la règle des 5 fixe la durée utile d'un relevé. • La demi-vie vaut 0,6931\,, elle n'est jamais égale à .

Le cours

1. Définition et lecture de la constante de temps Le coefficient a d'une équation y' = a\,y n'est pas très parlant : il dépend de l'unité de temps choisie. On lui préfère la constante de temps = 1/|a|, qui a la même unité que t et qui décrit directement la vitesse à laquelle le procédé oublie son état initial. • Décroissance (a • Croissance (a > 0, donc = 1/a) : au bout de t = , la grandeur est multipliée par e 2,718. • Montée vers une valeur limite y_f, modèle y(t) = y_f(1 - (-t/)) : au bout de t = , le système a parcouru 1 - (-1) 0,6321 du chemin qui le sépare de y_f. • Une durée exprimée en est donc une durée sans dimension : elle compare deux procédés entre eux. 36,8 %une constante de temps5τ0,67 %concentrationDécroissance : la constante de temps se lit en 36,8 % Durée t (-t/) 1 - (-t/) Lecture de conduite du procédé 0 1 0 état initial 0,3679 0,6321 il reste 36,8\ \% de l'écart, 63,2\ \% est parcouru 2 0,1353 0,8647 il reste 13,5 % de la pollution 3 0,0498 0,9502 95 % de l'amplitude atteinte 5 0,0067 0,9933 procédé considéré comme établi 2. Lire sur un relevé réel On ne connaît pas toujours a : on mesure la courbe. Deux lectures directes donnent sans aucun calcul, à condition de savoir ce que l'on cherche. • Décroissance : repérer l'instant où la grandeur vaut 36,8\ \% de sa valeur initiale, cet instant est . • Montée : repérer l'instant où 63,2\ \% de l'écart total a été parcouru, cet instant est . • À défaut : si 95\ \% de la montée est atteint en 30\ min, alors 30 = 3 et 10\ min. 3. Confusions classiques • Confondre la constante de temps et la demi-vie : la demi-vie vaut 0,6931\,, elle est donc plus courte que et non égale à . • Prendre pour un pourcentage : est une durée, elle ne s'exprime pas en pourcent mais toujours dans l'unité de temps du procédé. • Utiliser alors que le procédé a plusieurs étapes : un bac avec deux réactifs en cascade possède deux constantes de temps distinctes, et son évolution se décrit alors par une somme d'exponentielles plutôt que par une seule.

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