Exponentielle et amortissement d'une oscillation mécanique

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• Amortissement visqueux : amplitude u(t) = A_0(- t), énergie E(t) = E_0(-2 t). • = 1/ : après , il reste 36,8\ \% de l'amplitude mais 13,5\ \% de l'énergie. • Durée de seuil : t = (A_0A_seuil), puis nombre de cycles N = t\,f. • L'amplitude ne suit l'exponentielle qu'après le choc, jamais pendant l'excitation.

Le cours

1. Deux frottements, deux comportements Un système mécanique libre, comme un portique heurté ou un panneau de cabine, oscille après un choc. Avec un frottement sec, l'amplitude diminue d'une même quantité à chaque oscillation (décroissance linéaire), tandis que le frottement visqueux de l'air ou des joints la dissipe continuellement : dans ce second cas, l'amplitude décroît exponentiellement, u(t) = A_0(- t). • C'est la force de frottement proportionnelle à la vitesse qui produit une décroissance exponentielle de l'amplitude. • L'énergie, proportionnelle au carré de l'amplitude, décroît deux fois plus vite : E(t) = E_0(-2 t). • Le signal oscille toujours à la même fréquence, mais entre deux enveloppes exponentielles A_0(- t). A0enveloppe + A0 exp(−λt)enveloppe − A0 exp(−λt)tempsOscillation amortie entre deux enveloppes exponentielles Instant Amplitude A(t) Énergie E(t) Sensation de l'opérateur 0 A_0 E_0 choc franc = 1/ 36,8\ \% de A_0 13,5\ \% de E_0 le bruit devient supportable 3 5,0\ \% de A_0 0,25\ \% de E_0 vibrations résiduelles 5 0,67\ \% de A_0 0,0045\ \% de E_0 bruit de fond négligeable 2. Compter les oscillations utiles En maintenance vibratoire, on ne cherche pas une durée mais un nombre de cycles : en dessous d'un seuil d'amplitude, le capteur de surveillance ne distingue plus la vibration du bruit de mesure. • Instant de passage sous le seuil : t_seuil = 1/(A_0A_seuil). • Nombre de périodes encore visibles : N = t_seuil f où f est la fréquence propre du système. • Exemple : à 6\ Hz, une amplitude divisée par 2 toutes les 2,5\ s passe sous A_0/8 après 3 2,5 = 7,5\ s, soit 45 cycles. 3. Pièges sur l'amortissement • Appliquer la loi d'amplitude à l'énergie : diviser l'énergie par 10 prend deux fois moins de temps que diviser l'amplitude par 10, car E suit (-2 t). • Croire que dépend de la masse déplacée seule : il dépend aussi de l'amortissement des joints et de l'air, il doit être mesuré. • Oublier que le modèle s'applique après le choc, pas pendant : tant que l'excitation existe, l'amplitude ne suit pas l'exponentielle.

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