Loi de croissance d'une population de machines

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• N(t) = N_0( t) décrit un parc de machines qui croît de façon continue, en an^-1. • La cadence d'achat vaut N'(t) = N(t) machines par an, croissante avec le parc. • = (N_1/N_0)/t_1 : la donnée industrielle devient un coefficient calculable. • Le modèle continu donne des fractions de machine : il décrit une tendance, à arrondir en explicitant l'écart.

Le cours

1. Le modèle de la croissance continue Quand les acquisitions d'un atelier se répartissent régulièrement dans le temps, le nombre de machines du parc est une fonction continue du temps : N(t) = N_0( t). Le coefficient , exprimé en an^-1, est le taux de croissance continu du parc : chaque année, le parc est multiplié par (). • > 0 : le parc croît, et il croît d'autant plus vite qu'il est déjà grand. • Si le parc augmente de r\ \% par an, alors = (1 + r/100), voisin de r/100 pour les petites valeurs de r. • Cette écriture suppose des fractions de machine, ce qui est impossible : elle décrit une moyenne, pas un achat réel. 2. La cadence d'achat est la dérivée La quantité qui intéresse un chef d'atelier n'est pas le stock de machines mais le rythme des achats. La dérivée N'(t) donne la cadence d'achat instantanée, en machines par an ; le nombre de machines achetées au cours de la n-ième année est la différence N(n) - N(n - 1), dont N' donne une bonne approximation. • N'(t) = N_0( t) = N(t) : la cadence d'achat est proportionnelle au parc. • La cadence double exactement quand le parc double : les achats se concentrent en fin de période. • Dimensionner un atelier, c'est donc vérifier que la cadence reste industriellement réalisable. 1002002,8 anstangente : 25 machines par anN(t) = 100 exp(0,25 t)temps (années)La tangente en 0 donne la cadence d’achat initiale en an^-1 Hausse annuelle réelle () - 1 Parc après 5 ans (départ 100) Cadence d'achat N'(5) 0,05 5,1\ \% 128,4 6,4 machines par an 0,09 9,4\ \% 156,8 14,1 machines par an 0,15 16,2\ \% 211,7 31,8 machines par an 0,20 22,1\ \% 271,8 54,4 machines par an 3. Méthode : dimensionner un parc à horizon donné On part toujours de l'objectif chiffré du responsable de production, et on remonte au modèle. • 1. Écrire l'objectif : N(t_1) = N_1, nombre de machines voulu à l'horizon t_1. • 2. En déduire : ( t_1) = N_1/N_0 = (N_1/N_0)/t_1. • 3. Traduire en pourcentage annuel lisible par la direction. • 4. Vérifier la faisabilité : la cadence N'(t_1) doit rester réalisable côté approvisionnement. 4. Pièges de modélisation • Donner un résultat en fraction de machine : le modèle donne par exemple 188,2 presses ; on annonce 188 presses en précisant qu'il s'agit d'une tendance. • Confondre la croissance du parc et celle de la production : deux lignes peuvent produire deux fois plus à parc constant. • Prendre = 0,09 quand la donnée est un coefficient multiplicatif annuel de 1,09 : il faut = (1,09) 0,0862\ an^-1.

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