Logarithme décimal et logarithme népérien de classe de Terminale

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• est la réciproque de x 10^x, est la réciproque de : (x) = (x)(10). • (10) 2,302585, (2) 0,693147, (e) = 1, (1) = 0. • (u) = v u = (v), et a^t = v t = (v)/(a) pour a > 0 et a 1. • Un logarithme se calcule sur une valeur numérique sans unité, jamais sur une grandeur qui en porte une.

Le cours

1. Deux logarithmes, une seule idée Le logarithme décimal est la fonction réciproque de x 10^x : (x) = n signifie 10^n = x. Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : (x) = n signifie (n) = x. Les deux existent parce que les fonctions correspondantes sont strictement croissantes sur leur domaine. • (100) = 2 car 10^2 = 100, tandis que (100) = 4,605170. • Les deux bases sont liées par une constante : (x) = (x) (10) avec (10) 2,302585. • Domaine commun : x > 0. On ne logarithme jamais zéro, ni un nombre négatif. 2. Le couple logarithme népérien et exponentielle Ce sont deux fonctions inverses l'une de l'autre, ce qui signifie que chacune annule l'autre : ((u)) = u et ((v)) = v. C'est l'instrument du calcul industriel par excellence : on cherche presque toujours la durée t pour laquelle une grandeur atteint une valeur donnée, donc on isole t dans un exposant. • (u) = v u = (v) pour v > 0. • a^t = v t = (v)/(a) : c'est la formule de référence pour tout temps de doublement ou d'atteinte d'un seuil. • (1) = 0 et ((1)) = 1 : les deux valeurs à connaître par cœur. x (x) (x) Interprétation sur un procédé 0,001 -6,907755 -3 divisé par 1000 : il faut 6,91\, 0,5 -0,693147 -0,30103 divisé par 2 en 0,693\, 1 0 0 état initial 2 0,693147 0,30103 doublé en 0,693\, e 1 0,43429 multiplié par e en 1\, 10 2,302585 1 multiplié par 10 en 2,30\, 3. Extraire un exposant : la méthode en trois gestes Toutes les équations exponentielles d'un procédé se ramènent à la même question : quel exposant donne ce nombre ? La méthode est la suivante. • 1. Isoler l'exponentielle dans l'équation : (-t/) = 0,75. • 2. Passer au logarithme népérien des deux côtés : -t/ = (0,75) = -0,287682. • 3. Isoler l'inconnue, puis vérifier en rebouclant le calcul : (-0,287682) = 0,7500. 4. Pièges de manipulation des logarithmes • Confondre et dans une machine : la même division par 1000 vaut 3 en base 10 et 6,907755 en base e, et les deux nombres ne s'utilisent pas dans la même formule. • Chercher un logarithme d'une grandeur qui porte une unité : on logarithme la valeur numérique exprimée dans l'unité de travail, puis on réinjecte l'unité à la fin. Écrire (3\ mg) n'a aucun sens. • Oublier le signe : (0,75) est négatif, donc un seuil inférieur à la valeur initiale donne un temps positif. Un temps négatif est le signal d'une erreur de signe dans l'équation.

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