Résolution de y' = ay et croissance ou décroissance selon le signe

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• y' = a\,y admet pour solutions y(t) = K(a\,t), vérifié par dérivation. • K = y(0) : l'amplitude est l'état initial, la constante a est un coefficient en unité de temps inversée. • a > 0 croissance vers +, a < 0 décroissance vers 0, a = 0 grandeur constante. • a = (y_1/y_0)/t_1 permet de retrouver le coefficient à partir de deux mesures.

Le cours

1. La méthode : deviner, dériver, vérifier Pour l'équation y' = a\,y, on propose une solution de la forme y(t) = K(a\,t), puis on vérifie. Cette méthode évite toute théorie générale des équations différentielles, et elle est exactement celle attendue en STI2D. • Dérivation : y'(t) = K a(a\,t) = a\,K(a\,t) = a\,y(t) : le facteur a tombe en facteur commun. • Condition initiale : y(0) = K, donc K n'est autre chose que l'état initial du procédé. • Condition donnée à un autre instant t_0 : y(t) = y(t_0)\!(a(t - t_0)), car K = y(t_0)(-a\,t_0). 2. Le signe de a décide du devenir du procédé Le modèle ne change pas, seul le signe du coefficient change la lecture industrielle de la courbe. • a > 0 : la grandeur croît, et sa dérivée est d'autant plus grande qu'elle est déjà élevée. Un parc de machines s'accélère sans fin. • a • a = 0 : la grandeur est constante, le modèle se réduit à y' = 0. a Solution avec y(0) = y_0 Allure en t + Objet industriel a > 0 y_0(a t) + parc de machines, consommation d'un four a y_0(a t) 0 (jamais atteint) concentration d'un polluant, amplitude d'une vibration a = 0 y_0 y_0 régime établi, absence de dérive 3. Utiliser le logarithme pour retrouver a Quand le procédé est mesuré plutôt que calculé, on part de deux valeurs et on isole le coefficient. C'est le réflexe du technicien qui doit étalonner un modèle. • Avec y(0) = y_0 et y(t_1) = y_1 : (a t_1) = y_1/y_0 a = (y_1/y_0)/t_1. • L'unité de a est l'inverse de celle de t : en an^-1, min^-1, ou s^-1. • Deux mesures suffisent ; une troisième permet de contrôler le modèle et de repérer une erreur de mesure. 4. Pièges sur l’équation y' = a\,y • Écrire y(t) = a(t) : la constante a est un coefficient, pas une amplitude ; c'est K qui porte l'état initial. • Oublier le signe de a dans l'exposant : pour a = -0,3, on écrit (-0,3\,t), jamais (0,3\,t). • Croire qu'une solution peut changer de signe : étant toujours strictement positive, y(t) = K(at) garde le signe de K = y(0) ; une grandeur positive au départ le reste.

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