Loi de décroissance d'une pollution atmosphérique

Terminale Technologique · Mathématiques STI2D Terminale

À retenir

• c(t) = c_0(-t/) : est le temps de séjour, il n'est pas une durée de demi-vie. • 1\, : 36,8\ \% restant ; 3\, : 95\ \% éliminé ; 5\, : 99,3\ \% éliminé. • Délai de conformité : t = (c_0c_seuil), sans aucune unité dans le logarithme. • La vitesse d'élimination vaut v(t) = c(t)/ : elle décroît comme la concentration.

Le cours

1. Le modèle de décroissance Après un rejet, la concentration en polluant dans l'air au voisinage d'une installation diminue : les vents l'emportent, il se dépose, il réagit chimiquement. Tant que ces trois mécanismes éliminent, à chaque minute, une même proportion du polluant présent, la décroissance est exponentielle : c(t) = c_0(-t/), où est le temps de séjour du polluant. • s'exprime en minutes, en heures ou en secondes, selon l'échelle du phénomène étudié. • La vitesse d'élimination v(t) = -c'(t) est proportionnelle à la concentration : v(t) = c_0/(-t/) = c(t)/. • La concentration tend vers 0 sans l'atteindre, même après plusieurs jours de beau temps. Durée écoulée Concentration restante Polluant éliminé Décision d'exploitation 1\, 36,8\ \% 63,2\ \% relever la concentration 2\, 13,5\ \% 86,5\ \% contrôle réglementaire 3\, 5,0\ \% 95,0\ \% fin de l'alerte pollution 5\, 0,67\ \% 99,3\ \% impact environnemental négligeable 180mg/m³seuil réglementaire143 mintemps (min)Délai de conformité : l’abscisse du croisement avec le seuil 2. Calculer un délai de conformité réglementaire Chaque fois qu'un seuil réglementaire est donné, la question est la même : combien de temps faut-il pour que la concentration passe sous ce seuil ? • c_0(-t/) = c_seuil t = (c_0c_seuil). • La formule ne dépend que du rapport des concentrations : un seuil deux fois plus bas prend exactement 0,6931\, de plus. • Le résultat se lit ensuite en heures et minutes pour être transmis à l'exploitation. 3. Pièges d'interprétation • Appliquer la loi en distance et non en temps : ici c dépend du temps écoulé depuis le rejet, pas de la distance au point de mesure. • Confondre demi-vie et constante de temps : si la moitié du polluant disparaît en 2\ h, alors = 20,6931 2,89\ h. • Introduire une unité dans le logarithme : le seuil et la concentration doivent être exprimés dans la même unité, sinon le rapport n'a aucun sens et le délai calculé est faux.

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